三、解答题：(15)设函数求

的值。

小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,若

与

在

时是等价无穷小，

【解析】利用泰勒公式

当时，，则

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式 (16)设A>0，D是由曲线段 围成的平面区域，的值 【解析】

由A>0可得

及直线所

，求A

分别表示D绕轴与绕轴旋转所成旋转体的体积。若

= =

又 可得A=

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用 (17)已知函数

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求

的极值。

【解析】 由 又已知

，得

可得

得 对又所以于是

=2

,

积分得

， 所以

,

,从而

令A=C=由于

得驻点(0,-1)，所以

B=

,所以极小值为

【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值

(18)计算二重积分其中D=【解析】

,

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因为区域D关于y轴对称，所以=0

原式=

=

=令

,则

==

又

所以二重积分=

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算

(19)已知函数 【解析】

，求的零点个数

,令得驻点,

当时，,单调减少；

当时，,单调增加；

因为

，所以在上存在唯一零点。

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又 综上可知，

,，所以在上存在唯一零点。

有且仅有两个零点。

【考点】高等数学—一元函数微分学—方程的根（零点问题）

(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体降温至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？ 【解析】

设该物体在t时刻的温度为

，由题意得

其中k为比例系数，k>0.解得

将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100

将

令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【考点】高等数学—常微分方程—一阶常微分方程，微分方程应用 (21)已知函数

在点(【解析】 曲线

在点(

,

解得切线与

轴交点的横坐标为

)处的切线方程是

在区间

上具有2阶导数，

),证明

曲线

)处的切线与轴 的交点是(

由于

，故

单调增加。由

.

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