【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=必要条件为 (A) (C) 【答案】D 【解析】

类似的，若 当

,b=。若集合，则线性方程 有无穷多解的充分

(B) (D)

,如果

，则

是一个范德蒙德行列式，值为

，此时，则时，

有唯一解，排除(A),(B) ，排除(C)

，

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。 (8)设二次型

在正交变换在正交变换

下的标准形为

(B) (D)

下的标准形为

,其中

,若

Q=

(A) (C)

【答案】A

【解析】设二次型矩阵为A,则

可见

都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值

21

为-1，因此

因此在正交变换

下的标准二次型为

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：(

)小题，每小题4分，共24分。

(9)设则

【答案】48

【解析】由参数式求导法 再由复合函数求导法则得

=

,

综上所述，本题正确答案是48。

【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数 【答案】 【解析】

解法1 用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式

处的n阶导数

其中注意,于是

22

因此 解法2

利用泰勒展开

由于泰勒展开系数的唯一性，得 可得

综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式

(11)设函数 【答案】2

连续，.若=1，则

【解析】改写,由变限积分求导法得

由 可得

=1=

，

综上所述，本题正确答案是2

【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用 (12)设函数

是微分方程

=

，且在

处

取得极值3，则

【答案】 【解析】求

归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题

23

由特征方程 是得通解 又已知

可得特征根

于

综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程 (13)若函数

由方程

确定，则

【答案】 【解析】 先求

，在原方程中令

得

方程两边同时求全微分得 令

得

综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分 (14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，

,其中E为3

阶单位矩阵，则行列式|B|= 【答案】 21

【解析】 A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1 所以|B|=21

【考点】线性代数—行列式—行列式计算

线性代数—矩阵—矩阵的特征值

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