第二章 流体力学的基本概念

随堂作业：粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在二维直角坐标系中的形式 解：

粘性流体??0，不可压缩均质流体??C，定常流动系

??0，绝热q?0，二维直角坐标?t??0。 ?z连续性方程：

?u?v??0 ?x?y?Pxx?Pxydu???Fx??,dt?x?y运动方程：

?P?Pdv???Fy?xy?yy,dt?x?y??u1??u?v??Pxx??P?2???????,??x3??x?y????v1??u?v?????, 本构方程：Pyy??P?2?????y3?x?y??????u?v?Pxy???????x?y?二 流线与迹线，加速度 1(2) u?解：

流线的微分方程为

cxcy,v?,w?0,c是常数,试画出流线族; 2222x?yx?ydxdycxcy?,v?,将u?2代入得uvx?y2x2?y2dxdy?,积分后cxcyx2?y2x2?y2得lnx?lny?C,得y?Cx,z?B，其中B、C为积分常数。 1(8) u?x?y,v??2xy,求通过x?1,y?1的一条流线; 解:

流线的微分方程为

22dxdydxdy22??,将u?x?y,v??2xy代入,得2,积分得2uvx?y?2xyy3?3x2y?C,其中C为积分常数。将x?1,y?1代入,求得C??2。所求流线方程为

y3?3x2y?2?0。

1(11)设u?x?t,v??y?t,??0,求通过x??1,y??1的流线及t?0时通过

x??1,y??1的迹线;

解:

因为??0所以流动属于二维运动,z?C 。 流线的微分方程为

dxdydxdy?,将u?x?t,v??y?t代入得,积分整理得?uvx?t?y?t2代入得C?1?t。所求流线方程为xy?xt?yt?t2?C。将x??1,y??1xy?xt?yt?1?0。

迹线的微分方程为

dxdydxdy?u,?v,将u?x?t,v??y?t代入得?x?t,??y?t,解dtdtdtdt非齐次常系数线性微分方程得x?C1et?t?1,y?C2e?t?t?1,代入t?0,x??1,y??1得

C1?0,C2?0,所以所求迹线方程为x?y?2?0。

三运动类型的判别

1（3）u??cy,v?cx,w?0;对流场进行分析，是有旋运动，还是无旋运动，求出它们的流线形状,其中c是常数。

解：

?w?v?0?(cx)????0,?y?z?y?z?u?w?(?cy)?0rotyV?????0,

?z?x?z?x?v?u?(cx)?(?cy)rotzV?????2c,?x?y?y?zrotxV?rot?0故为有旋运动。

dxdyx2y2dxdy???C所以?流线的微分方程为,将u??cy,v?cx代入得，积分得uv22?cycx流线形状为椭圆形。

第三章 流体力学基本方程组

9试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的 (1)u?2x?y,v?2y?z,w??4(x?y)z?xy 解:：

22

?u?u?u?u?u?u??????4x?4y?4(x?y)?022?x?y?z?(2x?y)?(2y?z)?(?4(x?y)z?xy)满足不可压缩流体连续性方程,所以运动是运动是可能存在的。 13求下列速度场成为不可压缩流体可能流动的条件

(1)u?a1x?b1y?c1z,v?a2x?b2y?c2z,u?a3x?b3y?c3z; 解：成为不可压缩流体可能运动的条件是

?u?u?u???a1?b2?c3?0。 ?x?y?z22已知粘性流体在圆管中作层流流动时的速度分布为u?c(r02?r2)，其中c为常数,r0是圆管半径,求:(1)单位长度圆管对流体的阻力;(2)在管内r?r0/2处沿圆管每单位长流体的内摩擦。 解：

d(c(r02?r2))du????2?cr。边界处r?r0,???2?cr0。单位长度圆管对流（1）???drdr体的阻力F?2??r0??4?cr02。 （2）在管内r?r0/2处，F?2??r0???cr02。 223一长为l,宽为b的平板,完全浸没于粘性系数为?的流体中,流体以速度u0沿平板平行流过。假定流体质点在平板两面上任何一点的速度分布情况如图所示。求：（1）平板上的总阻力；（2）y?h/2处的流体内摩擦力；（3）y?3h/2处的流体内摩擦力； 解：

（1）由牛顿内摩擦定律I?yFdu??，而u?u0,v?0,w?0，所以平板上的总阻力

hAdyF?2IA?2?blu0。 h（2）y?h/2处的流体内摩擦力???udu??0 dyh（3）y?3h/2处，

du=0，所以此处流体内摩擦力为0。 dy3-25 解：

（一）由能量方程知：

dU??P:S?div(k?gradT)??qdt流体为不可压缩绝热粘性流体，且由题有??v

?0，则有

dU??P:S??p??v????dt计算变形速度张量为

S=错误！未找到引用源。

故每单位体积的内能增量为

2?=-?(??v)2?2?S:S3

u2u2u2?0?2?(?)??2224h4hh

152?0.01?()?3.6?10?3达因/厘米2?秒25

（二）由能量方程知：

dU??P:S?div(k?gradT)??qdt流体为不可压缩绝热粘性流体，则

dU??P:Sdt由条件知，

?u?v?v???0 ?x?x?y?u?uu?(y)? ?y?yhh

二维流动条件下

?=0 ?z则

P:S=pxy1?v?u1?v?u?(?)?pyx?(?)2?x?y2?x?y?u?uu2??????2?y?yh152=0.01?()25?3.6?10达因/厘米?秒

（三）取截面积S=1/25厘米2的流体进行 分析，则体积

?32V?h?S?25?1/25?1厘米由于流体为不可压缩绝热粘性流体，则流 体内能增量全部来源于外力所做的功，外 力为上平板对流体的作用力，由相互作用 力的关系得

3

u1F???S????h25

151?0.01???2.4?10?4达因

2525单位时间内能增量

?U?F?u?2.4?10?4?15?t

?3.6?10?3达因?厘米/秒

单位时间、单位体积内能增量

?U3.6?10?3??3.6?10?3达因/厘米2?秒?t?V1

第四章 流体的涡旋运动

7速度场为u?y?2z,v?z?2x,w?x?2y (1) 求涡量及涡线

2x?y?z?1dS?0.0001m(2) 求在平面上横截面为的涡管强度. 2(3) 求在z?0平面上dS?0.0001m上的涡通量

解：

（1）??rotV????w?v???u?w???v?u???i????j????k?i?j?k ??y?z???z?x???x?y?由涡线定义知

dxdydz??，所以dx?dy,dy?dz，积分得x?y?C1,y?z?C2，?x?y?zC1，C2为常数。

（2）在x?y?z?1平面上cos(n,x)?cos(n,y)?cos(n,z)?3 3???w?v????v?u???u?w??ds??cos(n,x)??cos(n,y)??cos(n,z)?ds???????s?s??y?z?z?x?x?y???????? ???cos(n,x)?cos(n,y)?cos(n,z)?ds?3?10?4m2/ss（3）在z?0平面上上cos(n,x)?cos(n,y)?0,cos(n,z)?1

???w?v????v?u???u?w??ds??cos(n,x)??cos(n,y)??cos(n,z)?ds???????s?s??y?z?z?x?x?y???????????cos(n,x)?cos(n,y)?cos(n,z)?ds?10?4m2/ss

第六章 伯努利积分和动量定理

4设空气在一收缩管道中流过，管道收缩处有一毛细管与下方一容器中的水相接，水面与收缩处的距离为h,收缩管截面1和2处的断面积为S1和S2。如果把空气看为理想的，不可压缩的，它的运动时定常的且只有重力作用。试问空气在入口处的流速多大时管道能将容器中的水吸到管道中来？ 解：

?S1V1?S2V2?22PVP?V1由连续性方程喝伯努利方程得?+1?2+2，又因为P1?P0。

2?空?2?空?P?P??gh02水?解得V1?S2S?S21222?水gh?空。P0为大气压。

22截面积为A2的90°弯管和一截面积为A1的喷管相连。设水以流量Q从喷管射向压力为

Pa的大气。求作用在弯管上的力Fx和Fy。设流体是理想不可压缩的，重力可以忽略，流

动是定常的。

解：

?AV11?A2V?Q?由连续性方程喝伯努利方程得?V12PaV22P2

?2+??2+??2在x方向上Fx?PaA1??v1A1

在y方向上Fy?P2A2??v2A22

解得

Q2Fx???PaA1A1Fy??Q?A?A?2?PaA2?2?2?A12A2?2122

分析讨论题

比较小孔出流反推力与火箭发动机反推力计算的相同点和不同点.根据火箭发动机推动力计算公式,提出增大推动力的有效方法。

根据圆管突然扩大的能量损失计算公式，提出减小流体输送能量损失的合理管路设计原则。

第七章 理想不可压缩流体无旋运动

12设复位势为w(z)?(1?i)ln(z?1)?(2?3i)ln(z?4)?22动组成的?并求沿圆周x?y?9和x?y?22221试分析它们是由哪些基本流z1的速度环量?及通过该圆周的流体体积36

流量Q 解：

1z?ln(z?i)?ln(z?i)?2ln(z?2i)?2ln(z?2i)w(z)?(1?i)ln(z2?1)?(2?3i)ln(z2?4)??iln(z?i)?iln(z?i)?3iln(z?2i)?3iln(z?2i)?1z

由分解式可以看出，有以下基本流动构成： 在复平面中位于（0,1），（0,-1），（0,2），（0,-2）的点源 在复平面中位于（0,1），（0,-1）逆时针流动的点涡 在复平面中位于（0,2），（0,-2）顺时针流动的点涡 位于坐标原点的偶极子。 当x?y?9时，

2222???2?b??2?(1?1?3?3)?8?

Q?2?a?2?(1?1?2?2)?12?由于x?y?1构成的封闭圆环不包括任何的点源和点涡，而且偶极子速度环量和体积流36量为0，所欲??0,Q?0

当等于9/4时。构成的封闭圆包括位于0.1和0，-1的点源。位于0，1和0，-1的点涡。 13设复位势为w(z)?mln(z?)试分析它们是由哪些基本流动组成的?求流线和单位时间通过z?i和z?1两点连线的流体体积。

1z2解：

1z2?1w(z)?mln(z?)?mln()?mln(z?1)?mln(z?1)?mlnz

zz由分解式可以看出，有以下基本流动构成：

当m?0时，由位于（0,1），（0,-1）的点源和位于（0,0）的点汇 当m?0时，由位于（0,1），（0,-1）的点汇和位于（0,0）的点源

??11?x?yi?w(z)?mln(z?)?mln?x?yi??mlnx?yi???22?zx?yix?y?????x?y?1?xyi?x?y?1??mln?x?2?y?2?mln?x2?y2i?22?22x?yx?yx?yx?y????2222

x2?y2?1x2?y2?1设：x2?X 设：y2?Y 22x?yx?y则：w(z)?mln?X?Yi??mlnre???mr?m?

i???x2?y2?1??x2?y2?1??因此 ：流函数??m??marctg??y??x2???C 222x?yx?y??????

?x2?y2?1??x2?y2?1??y2??x2??C22x?yx?y所以流线方程为? ???即y?x2?y2?1??Cx?x2?y2?1?通过围绕原点任意封闭曲线的流量Q?2?m，单位时间通过z?i和z?1两点连线的流体

2体积，即???2时，Q??m2