1.2.2 组合

第一课时 组合与组合数公式

填一填

1.组合及组合数的定义 (1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．

2．组合数公式及其性质 n?n－1??n－2?…?n－m＋1?Amnm展开式 Cn＝m＝ Amm！公式 n！阶乘式 Cm n＝m！?n－m?！n－m性质1 Cm n＝Cn性质 mm－1性质2 Cm n＋1＝Cn＋Cn0＝1 备注 ①n，m∈N*且m≤n；②规定：Cn 判一判 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.(√)

2个积．(√) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C4

3．C35＝5×4×3＝60.(×)

14．C2 0162 017＝C2 017＝2 017.(√)

2封信．(×) 5．10个人相互写一封信，共写出了C10

6．10个人相互通一次电话，共通了A210电话．(×) 7．从10个人中选3人去开会，有C310种选法．(√) 8．从10个人中选出3人担任不同学科的科代表，有A310种选法．(√)

想一想 1.排列与组合之间的区别和联系是什么？ 提示：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，这是排列，组合的共同点；它们的不同点是：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．

2．“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？

提示：由于“abc”与“acb”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列．

3．我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么，“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？

提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．

4．两个组合是相同组合的充要条件是什么？

提示：只要两个组合中的元素安全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． 5．判断组合与排列的依据是什么？

提示：判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．

思考感悟：

练一练 1.判断问题是排列问题还是组合问题： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？

(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？

(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？

解析：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．

(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．

2

2．求值：3C38－2C5.

8×7×65×42

解析：3C3－2×＝148. 8－2C5＝3×3×2×12×1

333

3．求值：C34＋C5＋C6＋…＋C10.

mm－1

解析：利用组合数的性质Cm， n＋1＝Cn＋Cn

333

则C34＋C5＋C6＋…＋C10

3334＝C44＋C4＋C5＋…＋C10－C4 334

＝C45＋C5＋…＋C10－C4＝ … ＝C411－1＝329.

－n9－n

4．求值：C5n＋Cn＋1.(提示：先求n的范围，再确立n的值进而求值)

??5－n≥0，解析：?9－n≤n＋1，

??9－n≥0，

5－n≤n，

解得4≤n≤5.

又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.

5

当n＝4时，原式＝C14＋C5＝5.

4当n＝5时，原式＝C05＋C6＝16.

知识点一 1.给出下列问题：

(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？

(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？

解析：(1)飞机票与起点、终点有关，有顺序，是排列问题． (2)票价与起点、终点无关，没有顺序，是组合问题． (3)3人分别担任三个不同职务、有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同劳动，没有顺序，是组合问题. 知识点二 组合数公式 5＋C98·72.计算：C8100C7. 8×7×6100×993＋C2×1＝解析：原式＝C8＋＝56＋4 950＝5 006. 100

3×2×12×1

3．下列计算结果为21的是( )

23

A．A24＋C6 B．C7

2

C．A27 D．C7

7×6

解析：C2＝＝21. 7

2×1

答案：D

知识点三 组合数性质 123454.C05＋C5＋C5＋C5＋C5＋C5. 12

解析：原式＝2(C05＋C5＋C5)

?5×4?＝32. 2

＝2(C1?6＋C5)＝2×?6＋

?2×1?＋1－1m＋1

5．证明：Cm＋Cm＋2Cmnnn＝Cn＋2.

n！n！2n！

解析：法一：左边＝＋＋

?m＋1?！?n－m－1?！?m－1?！?n－m＋1?！m！?n－m?！

n！

＝[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)] ?m＋1?！?n－m＋1?！

n！

＝(n＋2)(n＋1) ?m＋1?！?n－m＋1?！

?n＋2?！

＝ ?m＋1?！?n－m＋1?！＋1

＝Cmn＋2

＝右边，原结论得证．

mm－1

法二：利用公式Cmn＝Cn－1＋Cn－1推得

＋1＋1mm－1mm＋1

左边＝(Cm＋Cm)＝Cmnn)＋(Cn＋Cnn＋1＋Cn＋1＝Cn＋2＝右边. 知识点四 6.6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．

组合的概念

答案：15

7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2

10×9

个元素的组合数，即C2＝45种． 10＝2×1

(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师有C26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．

2

根据分类加法计数原理，共有C26＋C4＝15＋6＝21种不同选法．

2

(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据分

6×54×32

步乘法计数原理，共有不同的选法C2×＝90种． 6×C4＝2×12×1

基础达标

一、选择题

1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地

解析：只有从100位幸运观众选出2位幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 答案：C

2＋C3＋C2等于( ) 2．计算C889

A．120 B．240 C．60 D．480

－1m

解析：∵Cm＋Cmnn＝Cn＋1，

3＋C2＝C3＝120. ∴原式＝C9910

答案：A

2＝28，则n的值为( ) 3．如果Cn

A．9 B．8 C．7 D．6

n?n－1?2＝解析：∵Cn， 2

n?n－1?∴＝28，即n2－n－56＝0，解得n＝8.

2答案：B

97

4．(C2A3100＋C100)÷101的值为( ) A．6 B．101 11C. D. 6101

11972333解析：(C2A3A3(C3100＋C100)÷101＝(C100＋C100)÷101＝C101÷101A3)＝3＝. A36