第6讲 对数与对数函数
1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 底数的限制：a>0，且a≠1 对数式与指数式的互化： ax＝N?logaN＝x 性质 负数和零没有对数 1的对数是零：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝1 对数恒等式：alogaN＝N loga(M·N)＝logaM＋logaN 运算性质 Mloga＝logaM－logaN NlogaMn＝nlogaM(n∈R) logcb公式：logab＝ logca换底公式 (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) n1推广：logambn＝logab；logab＝ mlogba2.对数函数的图象与性质 a>1 0 过定点(1，0) 当x>1时，y<0 当0 在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示． 作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆． 4．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．( ) (3)函数y＝log2x及y＝log13x都是对数函数．( ) 3 (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y＝ln 1＋x 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( ) 1－x 1 ，－1?，函数(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，??a?图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)＝________． lg 9lg 42lg 32lg 2 解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4. lg 2lg 3lg 2lg 3答案：4 2．(必修1P73探究改编)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log2x， 所以f(2)＝log22＝1. 答案：1 3．(必修1P71表格改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 111 4．(必修1P82A组T6改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log1，则a，b，c的大小关系 3332 为________． 1 解析：因为0 32答案：c>a>b [易错纠偏] (1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误． 1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号) 解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②. 答案：② 2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0 有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或. 22 1 答案：2或 23．函数y＝ log2（2x－1）的定义域是________． 3 解析：由log2(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1. 3 1 所以 2所以函数y＝1? 答案：??2，1? 1? log2（2x－1）的定义域是??2，1?. 3 对数式的化简与求值 (1)(2020·杭州市七校联考)计算：log2 (2)若a＝log43，则2a＋2a＝________． 【解析】 (1)log2 111 ＝log22－＝－； 222 － 1 ＝______，2log23＋log43＝________． 2 1 1 2log23＋log43＝2log23＋log23＝2log2(3·32)＝33. 2 1 (2)因为a＝log43＝log223＝log23＝log23， 2所以2a＋2a＝2log23＋2－log23 ＝3＋2log2＝3＋＝43 . 3 3 3 3 3 － 143 【答案】 (1)－ 33 (2) 23 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 1 1．计算：2log510＋log5＝________，2log43＝________． 4 111 102×?＝2，因为log43＝log23＝log23，所以2log43＝解析：2log510＋log5＝log5?4??422log23＝3. 答案：2 3 2．2(lg2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1.