。 。 。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2讲 空间几何体的表面积与体积
最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
知 识 梳 理
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆锥侧＝πrl S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 表面积 体积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 诊 断 自 测 13V＝Sh V＝Sh V＝(S上＋S下＋S上S下)h V＝πR3 43131.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
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(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝
3
a.( ) 2
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.已知圆锥的表面积等于12π cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A.1 cm
2
2
B.2 cm
2
C.3 cm
2
3D. cm 2
2
解析 S表＝πr＋πrl＝πr＋πr·2r＝3πr＝12π，∴r＝4，∴r＝2(cm). 答案 B
3.(2017·绍兴一中月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.2π＋4
D.3π＋4
解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示. 12
表面积为2×2＋2××π×1＋π×1×2＝4＋3π.
2答案 D
4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π C.8π
3
B.32π 3
D.4π
解析 设正方体的棱长为a，则a＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3a，即R＝3.所以球的表面积S＝4πR＝12π. 答案 A
5.(2016·天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m.
3
2
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解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m.
13
故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2 (m).
3答案 2
6.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm，体积是________cm.
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：
2
3
其体积V＝2×2×2×4＝32(cm)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm). 答案 72 32
考点一 空间几何体的表面积
【例1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
2
3
A.8＋22 C.14＋22
B.11＋22 D.15
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(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是( ) A.17π C.20π
解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.
直角梯形斜腰长为1＋1＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×1
(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.
2所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22.
1
(2)由三视图知该几何体为球去掉了球所剩的几何体(如图).
8
2
2
28π
，则它的表面积是3
B.18π D.28π
设球的半径为R， 7428π3则×πR＝，R＝2. 833
7322
故几何体的表面积S＝×4πR＋πR＝17 π.
84答案 (1)B (2)A
规律方法 空间几何体表面积的求法.
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
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