fx）=2sincos﹣2【解答】解：（Ⅰ）∵函数（故把y=sinx的图象向左平移

sin2+

=sinx+cosx=2sin（x+ ），

个单位，可得y=sin（x+）的图象，

）的图象． ，0），

再把各点的纵坐标变为原来的2倍，可得f（x）=2sin（x+（Ⅱ）若y=f（x+φ）=2sin（x+φ+则

+φ+

=kπ，k∈Z，∴φ=

．

）的一个对称中心为（

（Ⅲ）设当x=θ时，函数g（x）=f（x）+sinx=2sin（θ+（=

sinθ+

cosθ）

）取得最大为

，此时，sinθ=

）+sinθ=2sinθ+cosθ=

sin（θ+arcsin，cosθ=．

22．已知二次函数f（x）满足f（﹣2）=f（0）=﹣3，且对任意实数x，都有f（x）≥﹣4．

（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）令g（x）=mf（x）+1

①若m＜0，证明：g（x）在（﹣∞，1]上有且只有一个零点； ②若m＞0，求y=|g（x）|在[﹣3，]上的最大值． 【考点】二次函数的性质．

【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴为x=﹣1，最小值为﹣4，不妨设f（x）=a（x+1）

2

﹣4，利用f（0）=a﹣4=﹣3，求出a的值，

（Ⅱ）①化简g（x），利用对称轴以及g（x）的单调性，结合函数的零点，判断即可，

②利用g（﹣1）=1﹣4m，g（﹣3）=1，g（）=m+1，通过m＞0，当1﹣4m≥0，或1﹣4m＜0，分别求解函数的最值即可

【解答】解：（Ⅰ）由f（﹣2）=f（0）=﹣3，对任意实数x，都有f（x）≥﹣4， 则对称轴为x=﹣1，最小值为﹣4， 不妨设f（x）=a（x+1）2﹣4， ∴f（0）=a﹣4=﹣3，

解得a=1，

∴f（x）=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，

（Ⅱ），①由题意可得g（x）=m（x+1）2﹣4m+1，m＜0， 对称轴为x=﹣1＜1，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在（﹣1，1]上单调递减， ∵g（1）=1＞0，g（﹣1）=1﹣4m＞0，

∴g（x）在（﹣1，1]上没有零点，在（﹣∞，﹣1]上有且只有一个零点， ∴g（x）在（﹣∞，1]上有且只有一个零点， ②g（﹣1）=1﹣4m，g（﹣3）=1，g（）=m+1， ∵m＞0，

∴g（）＞g（3）， 当1﹣4m≥0时，即m

时，ymax=|g（x）|max=g（）=m+1，

ymax=|g当1﹣4m＜0时，即m＞时，若4m﹣1≤m+1，即＜m≤，（x）|max=g（）=m+1，

若4m﹣1＞m+1，即m＞，ymax=|g（x）|max=|g（﹣1）|=4m﹣1， 综上所述：当0＜m≤时，ymax=m+1，当m＞时，ymax=4m﹣1

2017年3月14日