八、（本题满分5分） 设正向数列{an}单调减少,且 九、（本题满分6分）
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以
?(?1)an发散,试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛?并说明理由. an?1y?f(x)为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)?? 十、（本题满分6分）
2f(x),证明(1)中的x0是唯一的. x?x????????222已知二次曲面方程x?ay?z?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换y?P?化为椭圆柱
???????z??????面方程??4??4,求a,b的值和正交矩阵P.
十一、（本题满分4分）
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且Ak?1α?0. 证明:向量组α,Aα,?,Ak?122α是线性无关的.
十二、（本题满分5分） 已知方程组
a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0(Ⅰ)
a21x1?a22x2???a2,2nx2n?0 ?an1x1?an2x2???an,2nx2n?0
的一个基础解析为(b11,b12,?,b1,2n),(b21,b22,?,b2,2n),?,(bn1,bn2,?,bn,2n).试写出线性方程组
TTTb11y1?b12y2???b1,2ny2n?0(Ⅱ)
b21y1?b22y2???b2,2ny2n?0 ?bn1y1?bn2y2???bn,2ny2n?0
的通解,并说明理由.
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为
十四、（本题满分4分）
1的正态分布,求随机变量X?Y的方差. 2从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表
2?(x)??z??1?t2edt 2?1.96 0.975 2.33 0.990 2z ?(x) 1.28 0.900 1.645 0.950
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表
P{t(n)?tp(n)}?p
35 36
0.95 1.6896 1.6883 0.975 2.0301 2.0281 1999年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(x?011?)=_____________. 2xxtanxdx(2)sin(x?t)2dt=_____________. ?dx0(3)y???4y?e的通解为y=_____________.
(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________.
(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?且已知P(A?B?C)?2x1, 29,则P(A)=_____________. 16
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数
(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数
?1?cosx x?0?(2)设f(x)??,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处 x?x2g(x) x?0?(A)极限不存在 (C)连续,但不可导
(B)极限存在,但不连续 (D)可导
?x 0?x?1a0??(3)设f(x)??,S(x)???ancosn?x,???x???, 122?2x ?x?1n?1??2其中an?25 ,则(n?0,1,2,?)f(x)cosn?xdxS(?)等于 ?0211(A) (B)?
2233(C) (D)?
44(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则
1(A)当m?n时,必有行列式|AB|?0 (C)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(B)当m?n时,必有行列式|AB|?0 (D)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则
1 21(C)P{X?Y?0}?
2(A)P{X?Y?0}?
三、(本题满分6分)
1 21(D)P{X?Y?1}?
2(B)P{X?Y?1}?
设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
四、(本题满分5分)
求I?dz. dx?L(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线
y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.
五、(本题满分6分)
设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切
线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.
六、(本题满分7分)
论证:当x?0时,(x?1)lnx?(x?1).
七、(本题满分6分)
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