?a1??b1??c1???????(4)设α1?a2,α2?b2,α3?c2,则三条直线 ??????????a3???b3???c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关
(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是
(A)8 (B)16 (C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算I????(x?2?y)dv,其中?为平面曲线 2y2?2zx?0绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所
围成的区域.
(2)计算曲线积分
??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是曲线 x?y?z?2从z轴正向往z轴
cx2?y2?1负向看c的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分) 值.
(1)设直线l: x?y?b?0x?ay?z?3?0在平面?上,而平面?与曲面z?x?y相切于点(1,?2,5),求a,b之
22?2z?2z2x(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(esiny)满足方程2?2?ez,求f(u).
?x?yx
五、(本题满分6分) 设f(x)连续,?(x)??10f(xt)dt,且limx?0f(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续x性.
六、(本题满分8分)
设a1?0,an?1?(1)liman存在.
x??11(an?)(n?1,2,?),证明 2an
(2)级数
?(n?1?an?1)收敛. an?1
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B是秩为2的5?4矩阵,α1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1]T,α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组
Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?1??2?12?????的一个特征向量.
a3(2)已知ξ?1是矩阵A?5????????1????1b?2??1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值. 2)问A能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆. (2)求AB?1.
九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概
率都是.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为
25(??1x)?0?x?1 f(x)? 其它0其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.
1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limx?0
1?x?1?x?2=_____________. 2x
?2z1(2)设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则=_____________.
?x?yxx2y2(3)设l为椭圆??1,其周长记为a,则?(2xy?3x2?4y2)ds=_____________. ?43L*2(4)设A为n阶矩阵,A?0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A)?E必
*有特征值_____________.
(5)设平面区域D由曲线y?12及直线y?0,x?1,x?e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服x从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)连续,则(A)xf(x)
22dx22tf(x?t)dt= ?0dx
(B)?xf(x) (D)?2xf(x)
22
(C)2xf(x)
(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是 (A)3
(C)1
(B)2 (D)0
(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?小,y(0)??,则y(1)等于
(A)2? (C)e (4)设矩阵
?4y?x??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷21?x
(B)? (D)?e
?4?a1?a?2??a3是满秩的,则直线
b1b2b3c1?c2?? c3??x?a3y?b3z?c3x?a1y?b1z?c1与直线 ????a2?a3b2?b3c2?c3a1?a2b1?b2c1?c2
(B)重合 (D)异面
(A)相交于一点 (C)平行但不重合
(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有 (A)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B)
三、(本题满分5分)
求直线l:
(B)P(A|B)?P(A|B) (D)P(AB)?P(A)P(B)
x?1yz?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周??11?1所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数?,使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x?y)i?x(x?y)j为某二元函数
42?242?u(x,y)的梯度,并求u(x,y).
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).
六、(本题满分7分)
axdydz?(z?a)2dxdy222z??a?x?y,计算??其中为下半平面的上侧,a为大于零的常数. ?22212(x?y?z)?
七、(本题满分6分)
2????sinsin?n?n???sin??. 求lim?x??11?n?1?n?n??2n??