计算I???L22(y?z)dx?(22z?2x)d?y(32?x2)其d,y中zL是平面 x?y?z?2与柱面
x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:
(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)lim?(x)?0.5.
x?0
八、(本题满分8分)
2(x2?y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?(设长度单位为
h(t)厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?
九、(本题满分6分)
设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,
β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?
十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,Ax线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.
?1(1)记P?(x,Ax,Ax),求B使A?PBP.
22(2)计算行列式A?E.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设X~N(?,?)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2),
n12n样本均值X?Xi,Y??(Xi?Xn?i?2X)2,求E(Y). ?2ni?1i?122002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
???edx= _____________. 2xlnxy2(2)已知e?6xy?x?1?0,则y??(0)=_____________. (3)yy???y??0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?21的特解是_____________. 222(4)已知实二次型f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型
f?6y12,则a=_____________.
(5)设随机变量X~N(?,?),且二次方程y?4y?X?0无实根的概率为0.5,则
22?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在. 则有:
(A)②?③?① (C)③?④?① (2)设un?0,且lim
(B)③?②?① (D)③?①?④
n1n?11)为 ?1,则级数?(?1)(?n??uuunn?1n
?(A)发散 (C)条件收敛 (B)绝对收敛
(D)收敛性不能判定.
(3)设函数f(x)在R上有界且可导,则 (A)当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0
x???x???(B)当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0
x???x???(C) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0 (D) 当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0.
x?0?x?0?x?0?x?0?(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为
FX(x)和FY(y),则
(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数
(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若
af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.
四、(本题满分7分) 已知两曲线y?f(x)与y??arctanx0e?tdt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限
22limnf(). n??n
五、(本题满分7分) 计算二重积分
max{xe??D2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
六、(本题满分8分)
设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).
记I?1x22[1?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy, ?yy2(1)证明曲线积分I与路径L无关.
(2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分)
x3nx (1)验证函数y(x)??(???x???)满足微分方程y???y??y?e.
n?0(3n)!?