设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数f(x)在[0,?]上连续,且同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(本题满分6分)

??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不

0?

?10?01*?设矩阵A的伴随矩阵A??10??0?300?00??,?1?110?且ABA?BA?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵

?08?B.

十一、(本题满分8分)

1熟练工支援其他生产部门,其62缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第n年1月

5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn??. y?n??xn?1??xn??xn?1??xn?(1)求??与??的关系式并写成矩阵形式:???A??.

yyy?n?1??n??n?1??yn?(2)验证η1???,η2???4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1??1??xn?1??x1??2?(3)当?????时,求??.

yy1?n?1??1??????2?

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).

十三、(本题满分6分)

?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设

x??0?x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设y?e(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)r?xx2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:

?0?1dy?1?y2?1f(x,y)dx＝_____________.

(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)= _____________.

(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为

(A) (B)

(C) (D)

(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy

(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}

(D)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}

(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?

f(1?cosh)(A)lim存在 2h?0h(C)limh?0

f(1?eh)(B) lim存在

h?0h(D)limh?0f(h?sinh)存在 2h111??4??111?0,B???0111???111??00000 0000

f(2h)?f(h)存在

h?1?(4)设A??1?1??10??0?,则A与B 0??0?(A)合同且相似 (C)不合同但相似

(B)合同但不相似 (D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为 (A) -1 (C)

(B)0 (D)1

1 2

三、(本题满分6分)

arctanexdx. 求?e2x

四、(本题满分6分)

设函数z?f(x,y)在点(1,1)可微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求

d3?(x)dxx?1.

五、(本题满分8分)

1?x2?(?1)narctaxn x?0设f(x)? x,将f(x)展开成x的幂级数,并求?的和. 21?4nn?11 x?0

六、(本题满分7分)