为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

八、(本题满分7分)

x2y2设S为椭球面??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为

22点O(0,0,0)到平面?的距离,求

九、(本题满分7分)

?zdS. ???(x,y,z)S设an???40tannxdx:

(1)求

1(an?an?2)的值. ?n?1nan收敛. ??nn?1?(2)试证:对任意的常数??0,级数

十、(本题满分8分)

?1c??a??,其行列式

b3设矩阵A?5又A的伴随矩阵A*有一个特征值?0,属于?0的一|A|??1,????1?c0?a??T个特征向量为α?(?1,?1,1),求a,b,c和?0的值.

十一、(本题满分6分)

设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,B为B的转置矩阵,试证BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.

TT十二、(本题满分8分)

设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 1 8 y3 P(X?xi)?pi? 1 x1 x2 P(Y?yi)?p?j

十三、(本题满分6分)

1 81 6?6x?(??x) 0< x??设X的概率密度为f(x)???3,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本

??0 其它(1)求?的矩估计量??.

?). (2)求??的方差D(?2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

?102x?x2dx=_____________.

222(2)曲面x?2y?3z?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.

1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a= _____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为概率相等,则P(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b)

(B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)

1,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的9(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)(C)

??xdS?4??xdS

SS1

(B)(D)

??ydS?4??xdS

SS1

??zdS?4??xdS

SS1

??xyzdS?4??xyzdS

SS1(3)设级数

?un?1n?n收敛,则必收敛的级数为

u(A)?(?1)n

nn?1(C)

? (B)

?un?1??2n

?(un?1?2n?1?u2n)

(D)

?(un?1n?un?1)

(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为

(A)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示 (B)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示 (C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价 (D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价

(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件为

(A)E(X)?E(Y) (C)E(X)?E(Y)

三、(本题满分6分)

22

(B)E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)] (D)E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)]

22222222

求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x

四、(本题满分5分)

?2zxx. 设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求

?x?yyy

五、(本题满分6分)

计算曲线积分I?xdy?ydx??L4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有

???Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,f(x)?1,求f(x). 其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且lim?x?0

七、(本题满分6分)

八、(本题满分7分)

1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?