2-11 半径为R的半球形碗内有一粒质量为m的小钢球. 若小钢球以角速度?在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
解：设距碗底有高h，则小钢球圆周运动的半径为r＝R2?(R?h)2，小球受力重力mg，和指向碗中心的压力N，则有
Ncos??mg?0, （1） Ncos??mr?2, （2）
sin??r/R. （3）
g可解得： h＝R?2.
?2-12 一根柔软而均匀的链条，长为l，单位长度的质量为?. 将此链条跨过一无摩擦的轻而小的定滑轮，一边的长度为x(?l/2)，另一边的长度为l?x. 现
2x?lg. l证：以链条为研究对象，分析受力，任意时刻下垂部分长为x，质量?x，另一边的长度为l?x，质量?(l－x)，则有
T－?xg＝?xa, (1) ?(l－x)－T=?(l－x)a. (2)
l?2x可解得: a?g.
l2-13 气球及载荷的总质量为m，以加速度a向上升，问气球的载荷增加多少，才能使它以相同的加速度向下降落.
解：气球及载荷系统受到向上升力T和重力
T－mg＝ma. （1） 载荷增加X，它以相同的加速度向下降落
（X＋m）g－T＝（X＋m）a. （2） 消去T，可得：
将链条由静止释放，试证明链条的加速度为 a? X=2ma. g?a2-14 长为l的细绳一端系一质量为m的小球, 使小球从悬挂着的位置以初速度为?0在铅直平面内绕细绳的另一端开始作圆周运动. 用牛顿定律求小球在任意位置时的线速度和绳的张力（不计空气阻力）
解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为?，小球受重力和绳的张力T，线与垂直方向夹角为?，，根据牛顿定律，有
d?切向： mgsin?＝m, （1）
dt法向： N?mgcos??m?2r. （2） 对（2）求导数，得
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dNd??d?. （3） ?mgsin??2mdtdtrdtd?由（1）得 ?gsin?. （4）
dtd?又 ??r. （5）
dt 由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度v
2?2lg(cos??1). ???0将（4）与.(5)代入（3），再积分可得张力 N=m(
. A O B 2-15 一质量为m的小球最初位于如图所示 ? r 的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面 C ADCB下滑. 试求小球过C点的角速度和对圆 D 弧表面的作用力. 题2-15图
解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为?，小球受重力和绳的张力T，线与垂直方向夹角为?，，根据牛顿定律，有
d?切向： mgsin?＝m, （1）
dt法向： N?mgcos??m?2r. （2） 对（2）求导数，
dNd??d?. （3） ?mgsin??2mdtdtrdtd?由（1）得 ?gsin?. （4）
dtd?又 ??r, （5）
dt 由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度
?02l?2g?3gcos?).
2?2lg(cos??1). ???0角速度 ???r?2gsin?. r将（4）与.(5)代入（3），再积分可得圆弧表面的对小球作用力 N=3mgsin?.
2-16 质量为m的物体以初速度?0沿水平方向抛出. 试求在任意时刻作用在物体上的切向力和法向力.
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解：取物体为对象，设任意位置时的线速度为?，小球受重力和碗的支持力T，根据牛顿定律，小球的运动方程为
1r = ?0ti?gt2j,
2dr?＝＝?0i?gtj,
dt???02??gt?. a?d?＝?gj dt2g2td?at＝＝, (1)
222dt?0?gtan?a?a?＝
由牛顿第二定律：
F??ma?＝22(g2t)2g?. (2) 2(gt)2?v02mg1?(?0gt,
)2 Fn?man?mg. gt1?()2?02-17 一质量为10kg的质点在力F=120t+40（N）作用下沿x轴作直线运动.在t=0时，质点位于x0?5.0m, 初速度?0?6.0m/s. 求质点在任意时刻的速度和位置.
解：由 F＝m
d? （1） dt?vv0md???(120t+40)dt
0t得 ???0??60t2?40t??6t2?4t?6. （2） 又 ??
dx. （3） dtt0?xx0dx???dt??(6t2+4t +6)dt.
0t 得： x＝2t3?2t2?6t?5. （4）
2-18 如图所示，一斜面的底边长l?2.1m，倾角为?. 一个质量为m的物体从斜面顶端由静止开始下滑，摩擦系数为??0.14. 问：倾角?多大时物体从斜
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面顶端滑到底端的时间最短，这个时间是多少？
解： 沿斜面方向有
d?mgsin?－? mgcos?＝m. （1）
dt积分, 得 ?＝（gsin?－? gcos?）t. m dx又 ??, （2）
dt1积分得 x??gsin???gcos??t2. （3） l
2x2?l2lcos?＝ ； sin?＝. （4） 题2-18图
xx将（4）代入（3），整理可得当?＝49o时，t取最小值t＝0.99s. 2-19一质量为m的物体，最初静止于x0处. 在力F??动，试证它在x处的速度为 ??k的作用下沿直线运x22k11(?). mxx0d?, dt证： 由于 F＝m
有 dt=
dxm, d???Fkdx即 ?d???. 2mxkdx积分,得 ??d????2.
mx0x0?x即 ??2k11(?). mxx02-20 初速度为?0、质量为m的物体在水平面内运动，所受阻力的大小正比于质点速率的平方根，求物体从开始运动到停止所需的时间.
解：阻力F＝－k?, 则有
－k?＝m即 dt＝?mk?d?, dtd?.
积分: ?tmv1d??dt. ??v00k? 16