12.25m/s, 落地点到抛出点的距离为38.2m. 忽略空气阻力, 求小球的初速率和达到的最大高度.

解：同上题，小球在最高位置速度为：

?0cos?t＝12.25 m/s, (1)

落地点到抛出点距离： X??02sin2?/g＝38.2 m/s, (2)

2sin2?/2g (3) 最大高度： h??0o'由(1),(2),(3)可得 ?0＝19.6m?s?1 , ?＝5117 , h＝11.9m.

1-13一小球以10m/s 的初速率从距地面高度为50m的悬崖边上水平抛出. 求: (1) 小球落地时飞行的时间; (2) 落地位置; (3) 小球飞行中任意时刻的速度.

解：可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以抛出点为原点，向上为y轴正向,则有

x??0t, (1)

1 y??gt2, (2)

2 ?y??gt. (3) 小球落地时y＝-50 m，带入（2）式，可得小球飞行时间t＝3.19s. 落地位置 x??0t＝＝31.9m, 任意时刻小球的飞行速度 ??100?96t2,

速度的方向角 ??arcot0.98t.

1-14 一列火车以70km/h的速率奔跑, 车上一个信号灯挂在距地面高度为4.9m 的位置, 当灯过地面某处时开始落下. (1)当灯落地时,求灯与车之间的距离以及灯的落地点与开始下落处的距离. (2) 求灯相对车和相对地的运动轨迹. 解：设该地为原点，车行进方向为x轴正向，y轴向上为正

(1) 灯相对于车在水平方向无位移，灯与车之间的距离为0; 相对于地，灯在垂直方向作自由落体运动，水平方向作匀速直线运动:

x??t, (1)

1 y??gt2, (2)

2落地时，取y＝0，由上两式得 x＝20 m. 从上两式中消去t，得到运动轨迹:

y?4.9?0.02x2. (2) 灯相对于车作自由落体运动:

1 y?y0?gt2. (3)

21-15 地面上一根旗杆高20.0m, 中午时太阳正位于旗杆上方. 下午2点时旗杆影子的运动速度多大? 什么时候旗杆影子的长度等于20.0m?

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解：设旗杆和旗杆影子的长度分别为H和x, 则有 x?Htg?, 而旗杆影子的运动速度为 ??dx??H, 2dtcos?所以,下午2点时旗杆影子的运动速度是

0.727?10?4?H?1.939?10?3m/s. ??H22cos?cos?/6?令H和x相等,则 t?3点钟(15时).

1-16一质点的加速度为a?6i?4jm/s2, t?0时质点速度等于零, 位矢为

r0?10im. 求: (1) 质点在任意时刻的速度和位矢. (2) 质点在x?y平面内的轨迹

方程并画出轨迹示意图.

解： （1）t＝0时，?0?0，r0?10im

d?d2r?2得 由 a?dtdt ?＝

??tt0tadt+?0＝?adt＝(6ti+4tj)m?s-1

t0t r =

t02vdt+r0= 10?3t)i+2t2j

? (2)由r = 10?3t2)i+2t2j

得x＝10?3t2)；y＝2t2， 消去t得到轨迹方程: 3y?2x?20. 1-17 一质点的运动方程(SI)为

x??10t?30t2, y?15t?20t2,

??求: (1) 质点初速度的大小和方向; (2) 质点加速度的大小和方向.

drdxdy解 （1）??=j?(－10+60t )i?(15－40t) j, i?dtdtdt质点初速度 ?|t＝0＝－10i ＋15j?m?s-1?,

大小??18.03m?s?1，方向角(与x轴夹角) arctg（-2/3）=123o41'.

d?yd?x（2）a=j＝60i –40j, i+

dtdt 6

大小 a＝72.11m?s?2,

与x轴夹角：arctg（ax/ay）＝arctg（-3/2）=?56o18'.

1-18 小球以30m/s的初速率水平抛出. 求小球抛出后5s 时的切向加速度和法向加速度.

11 解：小球的运动方程r = ?0ti?gt2j?30ti?gt2j,

22dr22?＝＝30i?gtj, ???30???gt? dtd? a?＝?gj

dtg2td?当t?5s时, at＝＝＝8.4 m/s2,

dt900?g2t2 an＝a2?at2＝5.1 m/s2.

1-19 一人在静水中的划船速度为1.1m/s, 他现在想划船渡过一宽为4000m,

水流速度为0.55m/s的河. (1) 如果他想到达正对岸的位置, 应对准什么方向划船? 渡河时间多长? (2) 如果他想尽快渡河, 应对准什么方向划船? 沿河方向上的位移是多少?

解： 设静水中的划船速度为?0?1.1m/s, 水流速度为u?0.55m/s, 河宽为

l?4000m.

（1）如果他想到达正对岸的位置, 应对准的方向为偏向上游,角度为

?u?1??arcsin???arcsin?30o,

2??0?渡河时间 ?t?l?4.197?103s?1.17h.

?0cos?(2) 如果他想尽快渡河, 方向为??0, 沿河方向上的位移为 s?u?t?2002m.

1-20 一条船沿着平行于海岸的直线航行, 到海岸的距离为D, 航速为?1. 为拦截这条船, 一快艇以速率?2从港 C 口A驶出, 如图所示. 已知?1??2. D (1) 试证快艇必须在船到达距离港 口为x处之前开出, x?2D?12??2?2; x A (2) 若快艇尽可能晚开出, 它在什么 题1-20图

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位置和什么时间拦截到这条船?

解：（1）由A点做直线AB垂直于AC, 则

22xt?1??2 , ?D?2t2D?12??2所以 x?（2） 由于

?2. ?1t?1l??,

2222Dt?1??2?1??2D?1而l??2t,所以 t??2???D?12122, 则 l????2122.

1-21 一架飞机从甲地向南飞到乙地又返回甲地, 甲乙两地的距离为l. 若飞机相对空气的速率为?, 空气相对地面的速率为u, 且飞机相对空气的速率保持不变, 试证明:

2l(1) 若空气静止,即u?0, 则飞机往返时间为t0?;

?(2) 若刮北风, 则飞机往返时间为t1?t0; 2u1?2?(3) 若刮西风, 则飞机往返时间为t2?t01?u2 ?2证：（1）飞机相对空气的速率为?, 空气相对地面的速率为u。空气静止,即u?0，这飞机相对地面的速率为?, 飞机往返时间为

2lt0?.

?（2）x轴向东，y轴向北建立坐标系。若刮北风，空气相对地面的速度

为牵连速度为－u，飞机从甲地向南飞到乙地时，飞机相对于大地的速度为

????u，飞机往返时间?机地??u??；又返回甲地飞机相对于大地的速度为?机地为 t1?ll????u??ut0 u21?2?（3）若刮西风，?机地方向沿y轴，则飞机相对空气的速率在直角三角形斜

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