点时的速度应为Rg，由机械能守恒定律有
1m?v12?m?g(2R)?1m?(Rg) ②
22即 v1?5Rg
在速度为v′的运动的车上，若要小球相对车的最小速度等于v1，则球对地
Mv 的速度应为 v?v1?v??5gR?M?mM?m5gR 故有 v?m4.角动量定理及守恒定律
质点角动量，力矩，质点系主要是对轴，刚体，例见后
三．刚体力学
基本内容：刚体运动学，角量描述，定轴转动定理，转动惯量，转动动能定理，对轴的角动量定理及守恒定律，刚体平面运动。
例16：平行轴，垂直轴定理，转动动能定理
一个半径为R，质量为m的硬币，竖直地立放在粗糙的水平桌面上．开始时处于静止状态，而后硬币受到轻微扰动而倒下．求硬币平面与桌面碰撞前(即硬币平面在水平位置)时质心的速度大小．(已知质量为m,半径为R的圆盘对沿盘
1直径的轴的转动惯量为mR2)
41解：对硬币，由动能定理有 mgR?J?2
215而 J?mR2?mR2?mR2
448g可得 ??
5R8Rg vc??R?
5例17：质心运动定理
两个人分别在一根质量为m的均匀棒的两端，将棒抬起，并使其保持静止，今其中一人突然撒手，求在刚撒开手的瞬间，另一个人对棒的支持力f .
解：设刚撒开手时，棒的角加速度为?．以未撒手的一端为轴，用定轴转动定律
有 1mg?lJ??
21其中 J?ml2
3根据质心运动定理有 mg?f?mac?1ml?
2联立以上二式有 f = mg / 4
例18： 如图(a)所示，长为L的均匀杆，质量为m，静止在水平面上，可绕通过左端O的竖直光滑轴转动。一质量为m0＝m/3的小球以速度v0在水平面上垂直击杆于P点，并以速度v＝v0/3反弹回。设OP＝3L/4，杆与水平面间的摩擦系数为μ。求：(1)杆开始转动时的角速度；(2)杆受摩擦力矩的大小； (3)从杆开始转动到静止的过程中摩擦力矩做的功；(4)杆从开始转动到静止所转过的角度和经历的时间。
解 (1)设球与杆碰撞时的相互作用力为F和F′，如图(b)所示；碰撞后杆的角速度为ω0，则对球应用动量定理，有
∫Fdt＝m0v－(－m0v0) (1)
3L
对杆应用角动量定理，碰撞瞬间忽略杆与水平面的摩擦力矩(因为M摩<<4F′)，则有
3L
∫Mdt＝∫4F′dt＝Jω (2)
1
又F′＝F，J＝3mL2，代入(1)，(2)两式得
43Lv0m0(v＋v0)＝3LJω， ω＝4Jm0(v＋v0)＝L
事实上，碰撞瞬间小球、细杆系统对O轴的角动量守恒，即有
3L3Lmv0＝－44mv＋Jω
同样可求得ω。
m
(2)如图(c)，在杆上距O轴为l处取质元dm＝Ldl，dm受摩擦力df＝μgdm，df对O轴的力矩为
μmg
dM＝ldf＝Lldl
所以摩擦力矩
μmgL1
M＝∫dM＝L?ldl＝2μmgL
?0
(3)由刚体转动的动能定理可知，摩擦力矩做的功等于杆的转动动能的增量.得
11
ΔEk＝0－2Jω2＝－6mv20 11
(4)由ΔEk＝∫－Mdθ＝－?θ2μmgLdθ＝－2μmgLθ，得杆转过的角度：
?0
2ΔEkv20θ＝－μmgL＝3μgL
又由角动量定理
∫Mdt＝MΔt＝Jω
得
Jω2v0Δt＝M＝3μg 或由匀变速转动公式，有
ω
Δθ＝θ－0＝－ωΔt＝2Δt
同样可得
2θ2v0
Δt＝ω＝3μg
例19：0836，打击中心
长度为l质量为M的均匀直杆可绕通过杆上端的水平光滑固定轴转动，最初杆自然下垂．一质量为m的泥团在垂直于水平轴的平面内以水平速度v0打在杆上并粘住．若要在打击时轴不受水平力作用，试求泥团应打击的位置．(这一位置称为杆的打击中心)
解：选泥团和杆为系统，泥团打击时系统所受外力为Mg、mg、N2N1 (水平力)、N2 (竖直力)，如图．
N1O1 杆的质心C点在距轴l处，设刚打击后，系统的角速度为?，
xC2Mg1则C点速度为 vC?l?． ?2mg设打击处距轴的距离为x，将动量定理用于水平方向，有
?N1dt?mv?MvC?mv0
1?mx??M?l??mv0 ①
2系统对轴O的角动量守恒，有
11 xmv0?xmv?J??x2m??Ml2??(x2m?Ml2)?
33xmv0故 ?? ②
221(xm?Ml)3xmv0将②式代入①式得 ?N1dt?(mx?1Ml)?mv0
2221(xm?Ml)3xmv0若要N1＝0，应有 (mx?1Ml)?mv0?0
2221(xm?Ml)3得 x＝(2 / 3)l
例20：刚体平面运动
质量为m，半径为R的均匀球体，从一倾角为??的斜面上滚下。设球体与斜面间的摩擦系数为?，求使该球体在斜面上只滚不滑时,??角的取值范围。
解：球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2 N质心沿斜面平动，有： m gsin? - f = mac fC N - mgcos? = 0
mg?绕质心转动有： f R = Jc ? 只滚不滑时有条件： ac = R?
Jc由以上四式可得： f?mgsin??2sin? 27Jc?mR欲使物体只滚不滑，则必须是：f ≤??N =??mg cos?
所以有 ( 2/ 7 ) m gsin ?≤??m g cos?
tg??≤3.5 ? ，??≤tg-1(3.5?)
电磁学
静电场小结
一、库仑定律
二、电场强度
三、场强迭加原理
点电荷场强
点电荷系场强
连续带电体场强 四、静电场高斯定理