例6 一光滑直杆OA与竖直轴Oz成? 角（??为常数）．直 z 杆以匀角速度绕Oz轴转动，杆上有一质量为m的小滑环，在距A O点为l处与直杆相对静止如图示．试以OA杆为参考系求出此m ??时杆的角速度??，并讨论小滑环是否处于稳定平衡？
l
O
解：(1) 取杆OA为参考系，小环处于静止状态，受力如图： z ???N A mg、N及惯性离心力F?三者合力为零. ??F??? mg?N?F??0 ??mg 其中 F??m(lsin?)?2 ① O
将①式沿OA杆方向取投影可得 m(lsin?)?2sin??mgco?s?0 ②
1gco?s
sin?l (2) 因为N与杆是垂直的，故无论N取何值，都不影响小环沿杆的运动．现假定小环受到一个扰动，向杆A端发生一位移?l，即?l大于零．由上面②式知： m[(l??l)?2]sin??mgco?s
即惯性离心力F′沿杆的分量大于重力沿杆的分量，二者方向相反，合力指向杆的A端，故小环将沿杆向A端加速，不能再返回平衡位置．反之，如小环向O 端发生一?l位移，此时?l < 0，故 m[(l??l)?2]sin??mgco?s
小环将受到一个指向杆O端的合力，也不会再返回平衡位置， ∴ 小环所处平衡是不稳定平衡． 2.动量定理及守恒定律
基本内容：质点及质点系动量定理，动量守恒定律，质心及其运动定理 ∴ ??(1) 若 ?Fi外?0，则系统无论在哪个方向动量都守恒；若 ?Fi外?0，但
i?1i?1nn系统在某一方向上的合外力为零，则该方向上动量守恒。
(2)碰撞、打击问题中，在Δt→0时，只能忽略恒定的有限大小的主动外力(例如重力)，而随碰撞而变化的被动外力(例如支持力)一般是不能忽略的。
(3)若遇到变质量系统，要正确分析出t时刻和(t＋dt)时刻的动量。 例7：可变质量系统
图示一辆总质量为M的装满砂子的小车，车下有一可调
?节的小孔，当小孔打开时，砂子从小孔中竖直漏出．设每秒F?M均匀漏出砂子的质量为?m，当小车在水平恒力F的作用下，在水平地面上由静止开始运动时，砂子也同时开始从小孔中漏出．如果小车行进时的摩擦可以忽略不计，试由动量定理证明t时刻小车的运动速度和加速度分别为
FFMln v?, a? ?mM??mtM??mt证：设t时刻小车的质量为 m(t)?M?t?m，小车的速度为v (t)，t + dt时刻小车的质量为 m(t?dt)?m(t)?dm，
小车的速度为 v(t?dt)?v(t)?dv．
由动量定理列出水平方向的方程 Fdt?[m(t)?dm](v?dv)?dmv?m(t)v 略去两次小量 Fdt?m(t)dv?(M?t?m)dv
F ?dt??dv
M?t?m00FMln ∴ v? ?mM??mtdvF?由①式可直接得出 a? dtM??mt*例8：二体问题
今有质量分别为m1和m2的两个质点组成的系统，忽略外力作用，其质心处于静止状态．当质量为m1的质点绕质心作半径为r1的匀速圆周运动时，质点m2作何种运动？
? ?解：将坐标原点O建在质心C上，则有 m 2 r 2??p1mr?m2r2O 11?0 ?C? p2m1?m2 r1m1m1?? r2??r1 m2可见质量为m2的质点必以r2为半径绕质心作圆周运动．
*例9：非完全弹性碰撞，恢复系数
一皮球从距地面h1处自由落下，与地面发生非弹性碰撞，其恢复系数为e，
1?e2h1． 试证皮球在停止前通过的总路程为 S?1?e21?1?x?x2?x3?……，0 < x < 1） （提示
1?x证明：设第i次碰撞之前皮球是从高度hi处自由落下的，与地面碰撞时的速度为 vi，vi?2ghi，碰后瞬间皮球的速度为vi?． 取竖直向下为正．据恢复系数定义
?vi??0vi? e??． vi??evi
0?viviv?2g hi??i?e2hi?e2hi
2g2g则有下表：
碰撞次数 h h′
1 h1 e2 h1 2 h2 e4 h1 … …… …… i e2i?2h1 e2ih1 … …… …… 皮球停止前各次碰撞前后经历的总路程为S
??h2?h2??…?hi?hi??…… S?h1?h12tv ?h1?e2h1?e2h1?e4h1?e4h1?e6h1?……?e2i?2h1?e2ih1?…… ?h1(1?e2)(1?e2?e4?e6?…?e2i?2?……)
11?令x?e2， 1?e2?e4?e6?……?1?x?x2?…? 21?x1?e1?e2h． ∴ S?211?e3.功与能
基本内容：功，动能定理，功能原理，机械能守恒定律
(1)一对内力功之和仅由它们的相对位移决定，这一结论给解题带来许多方便。
(2)势能函数的形式与势能零点的选取有关。
(3)应指明系统的范围，以便区分内力和外力。对于内力还要分清保守内力和非保守内力，并判断守恒条件是否成立。
例10：变力的功 一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．
解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点．
由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量 即： F=P=P0?ky?mg?0.2gy=107.8?1.96y(SI) 人的拉力所作的功为： W=?dW??Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J
00H10例11：曲线运动变力的功
?? 一质点在几个外力作用下做匀速圆周运动，其中一力为F?5ti (SI)，质点的运动学方程为 x?cos1(?t) (SI)，y?sin(1?t) (SI)．求由t = 0到t = 2
22xdx??xcosx?sinx?C) s的时间内，此力对该质点所做的功． (?xsin??解： A??F?dr
??? ??(5t i)?d[co1s?(t)i?sin1(?t)j]
220 ??10 J
例12：一对力的功
质量为M的斜面体置于水平桌面上，另一质量为m的木块放在斜面上，设所有的接触面都是光滑的，试证明物体m和M间的相互作用力所作的功之和为零．
证：因m和M的接触面是光滑的，它们相互N′????????作用力N?及N与斜面垂直，且N???N，设vMvMv?v?vm代表斜面体相对于地面的运动速度，v代表木
??N块相对于斜面的运动速度，则木块相对于地面vM的运动速度为
2??? vm?v?vM 在dt时间内m和M的相互作用力所作的功之和
????? dW?N??(v?vM)dt?N?vMdt
????? ?N??(v?vM)dt?N??vMdt
?? ?N??vdt
????∵v?N?，∴ N??v?0
t2?? W??N??vdt?0
t1例13：功能与参考系
在匀速直线运动的汽车内悬挂的一个单摆，正在摆动，从地面参考系看, 摆球与地球组成的系统的机械能是否守恒（即不随时间改变）？为什么？ 答：不守恒．
因绳子对摆球的拉力与摆球的运动速度不总是垂直的，因而此拉力要做功，即W外≠ 0，故此系统机械能不守恒．
*例14：势能函数求保守力
一双原子分子的势能函数为
xx EP(x)??0[(0)12?2(0)6]
xx式中??0和x0为常量，x为原子间距离．求： (1) 原子间相互作用力为零时的距离； (2) 当分子总能量为E时，分子动能的最大值．
126x0x0dEP?12?0[13?7]?0 解：(1) f(x)??dxxx x?x0
d2EP (2)
dx2?12?0[x0137?2]?0 2x0x0x012x)?2(0)6] ???0 xx EKmax?E?EPmin?E??0
EPmin(x)??0[(例15：质点力学综合
质量为M的实验小车上有一根竖立细杆，用一根长为R的细绳将质量为 m′的一个小球挂在杆上P点．该小车和球以共同的初速
P度v向右运动，和质量为m的另一辆静止小车发生完全
m′非弹性碰撞，如图所示．设忽略一切摩擦且设M，m >>
m′，则小球的运动对两辆小车的速度的影响也可忽略不
Mmv计．试证明：欲使小球在竖直面内绕P点作圆周运动．实
M?m
5gR 验小车和球的初速度大小至少为 v?m证：两车相碰后的速度由动量守恒定律有
M?mv ① v??m 若小车静止不动，小球作圆周运动所需的最小速度为v1，则小球转至最高