一．质点运动学
基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动
1.运动学中的两类问题
(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。
例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P，另一艘船以P速率v自码头离去，试证当两船的距离最短时，两
?yx船与码头的距离之比为：
uB ?v?ucos??:?u?vcos??
lAv 设航路均为直线，?为两直线的夹角。
证：设任一时刻船与码头的距离为x、y，两船的距离为l，则有
l2?x2?y2?2xyco?s
对ｔ求导，得
dldxdydydx?2x?2y?2?cos??x?2?cos??y 2l dtdtdtdtdtdldxdy?0作为求极值的条件，则得 ??u ,?v代入上式，并应用将
dtdtdt 0??ux?vy?xvcos??yucos? ??x?u?vco?s??y?v?uco?s?
xv?uco?s由此可求得 ?
yu?vco?s即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为 ?v?uco?s? : ?u?vco?s?
(2)已知质点加速度函数a＝a(x，v，t)以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。
例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间?后，加速度为2a0，经过时间2?后，加速度为3 a0 ,…求经过时间n?后，该质点的速度和走过的距离。
解：设质点的加速度为 a = a0+? t ∵ t = ? 时， a =2 a0 ∴ ? = a0 /?
即 a = a0+ a0 t /? ， 由 a = dv /dt ， 得 dv = adt
vt ?dv??(a0?a0t/?)dt
00∴ v?a0t?a02t 2?stt由 v = ds /dt ， ds = v dt ?ds??vdt??(a0t?000a02t)dt 2?s?a02a03t?t 26?1n(n?2)a0? 21?n2(n?3)a0?2 6t = n? 时，质点的速度 vn??质点走过的距离 sn?2.相对运动
例3 有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成
?正比．今有相对于水的速度为v0的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．
解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为?y方向，由题意可得 ux = 0 uy = a(x?l/2)2＋b
令 x = 0, x = l处 uy = 0, x = l/2处 uy＝－u0，代入上式定出a＝4u0/l2、ｂ＝－u0，
4u而得 uy??20?l?x?x
l?船相对于岸的速度v(vx，vy)明显可知是 y vx?v0/2 vy?(v0/2)?uy，
v0 将上二式的第一式进行积分，有
v x?0t
2还有，
dydydxv0dyv04u0 vy?=???2?l?x?x
dtdxdt2dx2l即
45° u0 l x 42udy?1?20?l?x?x dxlv0因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：
22u0242u03y?x?x?2x
lv03lv0到达东岸的地点(x?，y? )为
?32u0?? ??1? x?l , y ?yx?l?l??3v0???
二．质点动力学
1.牛顿运动定律
基本内容：牛顿运动三定律，惯性力
(1)运用微积分处理力学问题：根据力函数的形式选择运动定律的形式；正确地分离变量
例4 如例4图，光滑水平面上固定一半径为r的薄圆筒，质量为m的物体在筒内以初速率v0沿筒的内壁逆时针方向运动，物体与筒内壁接触处的摩擦系数为μ。求：
(1)作用在物体上的摩擦力； (2)物体的切向加速度；
(3)物体速度从v0减小到v0/3所需的时间和经历的路程。
解 由题意知物体作半径为r的圆周运动，设任一时刻t物体的速率为v，受力情况如例4图所示，N和f分别是环内壁作用在物体上的弹力和摩擦力，物体所受重力和水平面的支承力在竖直方向相互平衡，图中未画出。在自然坐标系中的分量式是
?v2法向N?man?m(2.31)??r ?dv?切向?f?ma??m(2.32)?dt?v2dv(1)由 ?f???N???m?m，得
rdtrdvdt??
?v2trvdv两边积分 ?dt???2
0?v0vr11得 t?(?)
?vv0v0r故 v?
r??v0t再由摩擦力公式和(2.31)式得
2?mv0rv2 f??N??m?
r(r??v0t)2即摩擦力随时间t逐渐减小；方向沿圆周切向与物体相对于筒的运动方向相反。
(2)由(2.32)式得
2?v0rf?v2 a????? ??2mr(r??v0t)(3)当v?v0时，有 3v0v0r ?3r??v0t得
t?再由v?ds，有 dt2r ?v0ds?vdt?rv0dt
r??v0t两边积分
?ds＝rv?0
得
rr?v0s＝μln(r＋μv0t)|0＝μ ln 3
例5 0036，绳子张力
??一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴O 在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度?在水平面上旋转．设
L 转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为
O′ r处绳中的张力T( r)．
解：取距转轴为r处，长为d r的小段绳子，其质量为 ( M/L ) dr ． (取元，画元的受力图)
由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，??r d r 由牛顿定律得： O 2
T ( r )?T ( r + dr ) = ( M / L) dr r?
令 T ( r )－T (r + dr ) =?? dT ( r)
T(r) T(r+dr)
O′ 得 dT =－( M?2 / L) r dr
由于绳子的末端是自由端 T (L) = 0
0Ls
2r?v000?dt
r＋μv0t
2r有
T(r)2dT??(M?/L)rdr ??r∴ T(r)?M?2(L2?r2)/(2L)
(2)牛顿定律只在惯性系中成立，非惯性系中应用相对运动关系式或引入惯性力。