中考状元数学笔记知识点汇总
一、实数 （一）有理数
1、有理数分类：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴 3、相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 4、倒数 如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数
5、绝对值 ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是它的相反数/0的绝对值是0。 （二）实数
1、实数分类：①有理数→整数/分数②无理数(无限不循环小数)
2、平方根：①如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。③求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
3、算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根
4、立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
5、乘方性质 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
6、实数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。
减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。混合顺序①先算乘方，再算乘除，最后算加减 ②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，先小再中后大 运算律：① a+b=b+a ②(a+b)+c=a+(b+c) ③ab=ba ④(ab)c=a(bc) ⑤(a+b)c=ac+bc 7、科学记数法: 把一个整数或有限小数表示成±a×10n 的形式，其中 n是整数。 8、近似数 ①四舍五入法②进一法③去尾法
9、有效数字 从左边第一个不是0的数学起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。
如：28.70万有4个有效数字；0.30120有5个有效数字。 10、非负数 a ? 0 a ? 0 a 2 ? 0 1?p0a?0)11、零指数次幂、负指数次幂 a ? 1( a a p ( p 为正整数 ,a ? 其中? 0)二、代数式
1、分类：代数式→有理式与无理式；有理式→整式\\分式；整式→单项式\\多项式。 2、整式概念
①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 3、整式运算：（1）整式的加减：如果遇到括号先去括号，再合并同类项。整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 乘法公式：①（a+b）（a-b）=a2-b2 ②(a±b) 2=a2 ±2ab+b2
整式的除法：①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 n
幂的运算公式：①a·a=am
nm?n;②a÷a=amnm?n;③(a)=amnmn;④(ab)=abnnnana(;⑤ b)?bn4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式
（2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 （一提二套三分组）
5、分式概念及性质：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，（注意：对于任何一个分式，分母不为0）
bam00b?bb? 0)②性质1基本性质： ? ( m 2符号法则： ???abmaa?a6、分式的运算：
①加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。②乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。③除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 7、二次根式 2aa? ( a ?①性质 ab ? a b ( a ? 0, b ? 0) 0, b ? 0) ( a ) ? a (a ? 0) a2?abb②运算 加减：化成同类二次根式，再合并。 乘 法 ab?ab(a?0,b?0) aa? 除法： b b (a ? 0, b ? 0)
③最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 ④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。
⑤有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化因式。如： a与a,a?b与amb,ax?by与axmby1
⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式） 三、方程
（一）一次方程
1、概念 ①等式：用等号连接的两个式子叫等式 ②方程：含有未知量的等式叫做方程。③方程的解：能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。④一元一次方程：方程化为最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。⑤二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫二元一次方程。⑥二元一次方程组的解：能使二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值，叫这个二元一次方程的一组解。
2、等式性质 ①等式左右两边都加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍然是等式②等式左右两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式。
3、一元一次方程的解法： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1（注意：去分母 最小公倍数； 移项 变号） 4、二元一次方程组的解法：①代入消元法②加减消元法。 5、列方程解应用题：（1）步骤：审、设、找、列、解、答 （2）类型：①和差倍分问题②等积变形问题③行程问题→相遇问题/追及问题/顺逆流问题④劳力调配问题⑤工程问题⑥利润率问题⑦数字问题⑧储蓄问题⑨比例分配问题⑩日历中的问题 （二）二次方程
1、概念 ①一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 ．．．．．
2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法
bcx1? x,x? 3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根为x1,x2 则有 2 ? ? 1 ? x 2
aa22如：x12+x22=（x1+x2）－2 x1x2 x ? x ? ( x ? x ) ? 4xx121212
2
4、根的判别式 △=b-4ac ①△>0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有两个相等的实数根③△<0时，方程没有实数根。 （三）分式方程
1、定义：分母里含有未知数的方程 2、分式方程的解法：（1）思路：将分式方程转化为整式方程，解之并代入公分母中验根。（2）步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、解一元一次方程、验根。
3、列分式方程解决实际问题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。（不仅要验根还要验是否符合题意） 四、不等式及不等式组 （一）一元一次不等式 1、不等式的定义：用“<”、“>”、“≥”、“≤”、“≠”等不等号连接的式子。
2、不等式的基本性质：①如a>b，c为实数 则a+c>b+c；如a>b，c为实数 则a-c>b-c ②如a>b，c>0则ac>bc；
abab
如a>b，c>0则 c ? c ③如a>b，c<0则ac
cc
3、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式。 4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解。
5、解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1 （二）一元一次不等式组
1、定义：同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组 2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中的各个不等式的解集的公共部分。
3、解一元一次不等式组 （1）步骤：先分别求出不等式组中各个不等式的解集、在数轴上分别表示、找公共部分
（2）确定法则：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小是无解。
4、应用：审、设、列、解、择、答。（择：从解集中根据实际情况选择符合题意的解或解集） 五、函数及其图象 （一）平面直角坐标系
1、有序实数对：有顺序的两个实数a和b组成的实数对。（利用它可以准确表示平面内一个点的位置）
2、平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、零点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴x轴，取向右为正；竖直的数轴叫y轴，取向上为正；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
3、象限：坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限，分别称为第一、二、三、四象限。（x轴、y轴与坐标原点不属于任何象限）
4、坐标：P(a，b)表示由点P向x轴作垂线，垂足对应着x轴上的一个实数a；由点P向y轴作垂线，垂足对应着y轴上的一个实数b；
a 为横坐标，b为纵坐标。
5、平面内点的坐标特征：可从各象限内的点、坐标轴上的点、角平分线上的点、平行线上的点来归纳。
6、关于坐标轴对称的点的坐标：P(a,b)→(关于x轴) Px(a,-b)；P(a,b)→(关于y轴) Py(-a, b)；P(a,b)→(关于原点) Po(-a,-b)； P(a,b)→(关于直线y=x) P1(-a, b)
7、两点间的距离公式：A(x1,y1)、B(x2,y2)的距离为 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2
（二）函数概念
1、变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，始终不变的量叫做常量。
2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 3、函数中自变量的取值范围
4、函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值，该函数有唯一确定的对应值，此对应值为函数值。
2
5、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。
6、描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线 (有等号画实心，无等号画空心) （三）一次函数
1、正比例函数：如果y=kx（k是常数，k≠0），那么y叫做x的正比例函数；其图象是过点(0,0)与(1,k)b的一条直线。
?2、一次函数：如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数。其图象是过点(0,b)、( ,0)的一条直线。 k3、正比例函数、一次函数的图象与性质： 解析式 y=kx(k≠0) y=kx+b(k≠0) k k>0 k<0 k>0 k>0 k<0 b b=0 b=0 b>0 b<0 b>0 图象 与x轴交点 与y轴交点 与y轴截距 增减性 图象经过象限 (0,0) (0,0) 0 y随x的增大而增大 一、三 (0,0) (0,0) 0 y随x的增大而减小 二、四 负半轴 正半轴 b y随x的增大而增大 一、二、三 正半轴 负半轴 b y随x的增大而增大 一、三、四 正半轴 正半轴 b y随x的增大而减小 一、二、四 k<0 b<0 负半轴 负半轴 b y随x的增大而减小 二、三、四 4、直线的位置与常数的关系：
①k>0则直线的倾斜角为锐角②k<0则直线的倾斜角为钝角③图像越陡，|k|越大④b>0直线与y轴的交点在x轴的上方⑤b<0直线与y轴的交点在x轴的下方
5、一次函数的确定-----待定系数法：设、列、求。
6、一次函数与一次方程的关系：求两个一次函数的交点就是解两个一元一次方程构成的方程组。 7、①直线y=k1x+b与直线y=k2x+b平行，则k1=k2 ②直线y=k1x+b与直线y=k2x+b垂直，则k1k2 =1 （四）反比例函数
k? (k是常数，k≠0)叫做反比例函数，k叫做比例函数，反比例函数自变量x的取值范围是一切不等于0的实数。 1、定义：函数 y x2、反比例函数的图象：是双曲线 3、反比例函数的性质： 解析式 y k ? 0)?( kx k k>0 k<0 图 象 所在象限 一、三 二、四 增减性 当x>0或x<0时，y随x的增大而减小 当x>0或x<0时，y随x的增大而增大 4、反比例函数的解析式的确定：待定系数法 （五）二次函数
1、定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫二次函数。 2、三式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)其中x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
的两个实数根
3、二次函数解析式的确定：待定系数法 bb4ac?b2, )4、二次函数的图象：是一条抛物线，其顶点坐标为 ( ? ，对称轴是直线 x??2a2a4a5、二次函数y=ax2+bx+c中的a、b、c与抛物线的关系： ①开口方向与开口大小均由二次项系数a确定： a 相同 则抛物线形状相同；当 a 越大，则开口越小，反之开口越大；a>0则开口向上，且图象向上无限伸展；a<0则开口向下，且图象向下无限伸展
②与y轴交点的位置由常数项a决定：c>0则交于y轴的正半轴上；c<0则交于y轴的负半轴上；c=0则必过原点。
2
③与x轴交点的位置由方程ax2+bx+c=0中的△=b-4ac决定：当△>0时，有两个交点；△=0时，有一个交点；△<0时无交点。 ④对称轴的位置由a和b联合决定(左同右异)：a、b同号则对称轴在y轴的左侧；a、b异号则对称轴在y轴的右侧。 6、二次函数的性质： 函数 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0) a>0 a<0 图象 3 开口 向上 bx??2a向下 对称轴 顶点坐标 最值 x?? b 2ab4ac?b2(?,)2a4a(?b4ac?b2,)2a4ab4ac?b2当x??时y取最小值2a4a b4ac?b2当x??时y取最大值2a4a7、二次函数的平移 向右(h>0),向左(h<0)平移h个单位
(k>0), 向下 (k<0) 平移 k 个单位 y=a(x-h)2+k y=ax2 向上 (口诀：上加下减，左加右减) 六、图形的认识
（一）图形的初步认识 1、几何图形：（1）几何图形有平面图形和立体图形，构成几何图形的基本元素是：点、线、面、体。 （2）平面图形：在同一平面内，由点与线所组成的图形。
（3）常见的平面图形有线段、角、多边形、圆；常见的立体图形有圆柱、圆锥、棱柱和球。 2、直线：（1）直线的表示：用小写字母表示或用直线上的两个不同的点表示。（2）直线的公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为“两点确定一条直线” 3、线段：（1）线段的表示：用小写字母表示或用表示端点的两个字母表示。（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点（3）线段的比较：用刻度尺分别测量出长度进行比较或把其中的一条线段移到另一条上作比较。（4）线段的公理：两点之间，线段最短。（5）距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离。 4、射线：（1）定义：把线段向一方无限延伸所组成的图形叫射线。（2）射线的表示：用射线的端点和射线上另一个点来表示（注意顺序） 5、角：（1）定义：①静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形②动态定义：看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。
（2）角的表示：①用三个大写字母表示②当以某点为顶点的角只有一个时，可用该顶点的字母表示③用数字表示，如：∠1 ④用希腊字母表示，如：∠α
（3）平角和周角：射线OA绕点O旋转，当终边位置OB和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角，继续旋转，回到起始位置OA时，所成的角叫周角。
（4）角的度量单位是度、分、秒，是60进制。 1周角=2平角=4直角=360°,1度=60分=360秒 （5）方向角→正东、正南、正西、正北；西南、西北、东北、东南；北偏东30°等
（6）角的平分线：从一个角的项点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 6、互余与互补：（1）概念：如果两个角之和等于90°则说这两个角互余；如果两个角之和等于180°则说这两个角互补 （2）性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 7、相交线：（1）邻补角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 （2）对顶角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角。（3）对顶角的性质：对顶角相等。`
8、垂直（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。（2）垂直的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②直线外一点与直线上各点所连接的所有线段中，垂线段最短（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 9、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。
10、平行线 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。（2）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（3）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（4）平行线的判定：同位角相等，两直线平行/内错角相等，两直线平行/同旁内角互补，两直线平行。（5）平行线的性质：两直线平行，同位角相等/两直线平行，内错角相等/两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形与多边形
1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形的特性：三角形具有稳定性。 3、三角形的“三条重要线段”（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高 4、三角形的“四心”：内心→三角形的三条角平分线的交点；重心→三角形的三条中线的交点；垂心→三角形的三条高的交点；外心→ 三角形三条边的垂直平分线的交点。 直角三角形??5、三角形的分类：（1）按边： ? 不等边三角形 （2）按角分类：
三角形??锐角三角形? 斜三角形?三角形??底和腰不相等的等腰三角形?等腰三角形??钝角三角形? ?等边三角形??4