4

＋i－4i＝1－i. 5

?－1＋3i?3?2＋i?2?－1＋3i?33＋4i?13?3

?－＋i?(－i)3－(2)－＝－＝3

?2i??1＋i?64－3i4－3i?22??4－3i?i

＝－i－i＝－2i. 4－3i

16．(12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R？(2)z是纯虚数？(3)z是零？

解析：(1)当a2－7a＋6＝0，即a＝1或a＝6时，z∈R.

?a2＋a－2＝0，(2)当?

?a2－7a＋6≠0，?a2＋a－2＝0，(3)当?

?a2－7a＋6＝0，

即a＝－2时，z是纯虚数．

即a＝1时，z是零

1

17.(14分)设z是虚数，ω＝z＋z是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)求ω2－4ω的取值范围．

解析：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，

?b?a－bi11a?b－ω＝z＋z＝a＋bi＋＝a＋bi＋22＝a＋22＋?a2＋b2??

a＋bia＋ba＋b??

i，由－1＜ω＜2，得

??

?bb－＝0??a＋b

2

2

a

－1＜a＋22＜2，

a＋b

1??－2＜a＜1，????a2＋b2＝1.

?1?

∴|z|是1，z的实部的取值范围是?－2，1?.

??

(2)由(1)知ω＝2a，ω2－4ω＝4a2－8a＝4(a－1)2－4，

∴－4＜ω2－4ω＜5.

18．(14分)方程x2＋5x＋m＝0有两虚根z1，z2，且|z1－z2|＝3，求实数m的值．

解析：由方程有虚根，得

25

Δ＝25－4m＜0?m＞.

4

由韦达定理，得z1＋z2＝－5，z1·z2＝m，

|z1－z2|2＝|(z1－z2)2|＝|(z1＋z2)2－4z1z2|＝

17

|25－4m|＝9.∴m＝4(舍去)，m＝. 2

19.(14分)求虚数z，使之同时满足以下两个条件： ①|z－3|＝|z－3i|；

5

②z－1＋是实数．

z－1

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)， 由|z－3|＝|z－3i|，得

|x－yi－3|＝|x－yi－3i|?y＝－x.①

55

由z－1＋是实数，得x－1＋yi＋∈R，y≠0?(x－

z－1?x－1?＋yi1)2＋y2＝5.②

?x＝2，

联立①和②，得?

?y＝－2

?x＝－1，或??y＝1.

∴z＝2－2i或z＝－1＋i.

20．(14分)已知：复数z1＝m＋ni，z2＝2－2i和z＝x＋yi，若z＝z1i－z2，其中m，n，x，y都是实数．

1

(1)若复数z1所对应点M(m，n)在曲线y＝(x＋3)2＋1上运动，求

2

复数z所对应点P(x，y)的轨迹C方程；

(2)过原点的直线与轨迹C有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．

解析：(1)z＝z1i－z2＝(m－ni)i－(2－2i)＝(n－2)＋(2＋m)i＝x＋yi，

?x＝n－2，

复数相等，得?

?y＝2＋m

?n＝x＋2，??

?m＝y－2.

1

∵点M(m，n)在曲线y＝(x＋3)2＋1上运动，

2

11122

∴n＝(m ＋3)＋1?x＋2＝(y－2＋3)＋1?x＝(y＋1)2－1.

222(2)设过原点的直线的方程是y＝kx，代入曲线C的方程，得ky2

?1?2

22??k－＋(2k－2)y－k＝0，Δ＝(2k－2)＋4k＝8∴k∈R. 2?＋2＞0恒成立，?