第二章 数论与方程

本章以方程为主线，来讨论数学历史上的第二次抽象 —— 符号数学的发展历史，内容涉及初等数论和初等代数的相关问题。其中所要关注的焦点有两个，一是当人们初步完成由具体事物向数字抽象(数的第一次抽象)之后，势必会对数的本身的性质产生兴趣，这就是有关数论的问题；另一个焦点是数的进一步符号化(数的第二次抽象)，即以字母表示数，从而导致代数学的产生和发展。

§2．1数的性质 一．数的崇拜与禁忌

远古时代人们往往把认识到的数与环境、自然现象以及生活劳动进行联系，以此用来表达自已的喜好和厌恶。由于无法认识和解释自然界的种种奇特现象，因而产生强烈的神秘感，转而演化成对数的崇拜。

如毕达哥拉斯学派就对数表现出一种非同一般的崇拜。他们把自已的哲学原理、理论基础乃至精神支柱都集于一个如此简单而渺小的“数”的身上，这在整个哲学史上也是独一无二的。

又如中国古代对“九”宠爱有加。再如古巴比伦对六十崇拜也有突出的表现。

二．数与文化

中国古代把数分为两类，一类为阳数(后来称之为奇数)象征白(色)、 昼(白大)、热、日、火，同样毕达哥拉斯学派认为奇数不可分，因而是阳性的、属天的；另一类为阴数(后来称之为偶数)则象征着黑(色)、夜、冷、月、水，毕达哥拉斯学派也认为偶数是可以分解的，因而是阴性的、属地的。

三．亲合数与完全数

一个数的真因子的和是另一个数，而另一个数的真因子的和恰好又等于这个数,具有这样性质的一对数称为亲和数(也称相亲数)。

如果要问毕达哥拉斯学派的信徒谁是他的朋友，他将毫不迟疑地问答说：“就象220和284一样。”

从毕达哥拉斯给出亲和数220,284之后，费尔马(P.Fermat，法国，1601～1665)于1637年才发现了另一对亲和数，即17926和18416。事隔两年，笛卡尔给出了第三对亲和数：9,363,584和9,437,056。 如果一个数等于其真因子的和，则称之为完全数。如，6=(1+2+3)， 28，496，以及8128。

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〖问题2.1〗

1．人们对一个数的因数的研究时，发现具有特殊性质的数主要是什么数？它们各具有什么性质？

2．数学是人类文化的表现形式之一，在数学教学中你将如何体现数学的文化内涵？

§2.2 数论的发展历史

按照上述的有关内容的介绍可以看出，对数的崇拜和好奇是促使人们去研究数的原始推动力，这样一部以整数的结构和性质为研究对象的学科也就涎生了，它就是数论。人们大致赞同数论的研究在内容上是从数的可约性开始的。如果“可约”则它是一个整除性问题，如果“不可约”则为余数问题。因而整除性理论被称作是数论中最古老的内容。

一.整除理论

对整除理论作出杰出贡献的是古典时期的希腊人。

Euclid在他的《几何原本》中给出了最古老的算术基本定理：任一合数都为某质数量尽。

备受人们推祟的是他对命题；“素数的个数是无穷的”(质数的数目比任何指定的数目都要多)的证明。

而四百年后的尼可马修斯(Nichomachus，希腊，约公元100年)所写的《算术入门》却成为了数学历史上第一部数论典籍。

书中介绍了如何寻找不大于给定的自然数N的所有质数的办法．即著名的爱拉多塞(埃拉托色尼，Eratesthenes，希腊，公元前230年)“筛法”。

二.中国剩余定理

中国剩余定理也称“孙子定理”,起源于《孙子算经》(约公元400午)中的个著名的问题(卷下第26题)：

“今有物个知其数，三三数之剩二：，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”

这个问题涉及到的即为同余理论，它是由我国最早研究并取得辉煌的理论成就的数论课题。

秦九韶在《数书九章》第—章“大衍术”中给出了如何求一次同余式 组的方法，而他所构造的同余式的右边均为一，所以他的这一方法被称为“大

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衍求一术”。

但是“大衍求—术”后来竟失传达五百年之久，迟至清朝由黄宗宪(?) 等人，经过艰苦努力终于被重新挖掘出来。

中国剩余定理从发现(孙子问题)到理论形成(求—术)经失传而后重新挖掘，虽然历时—千多年的时间，但在世界上—直处于领先地位，迟至1801年高斯(K．P．Gauss,德，1777～1855)的《算术研究》才作出了与秦九韶相同的结果。

三．数论的发展

1．费尔马与数论

现代数论的发展源于一些人对算术问题的偏好。对数论问题的教早研究的人应属费尔马（P.Fermat,法国，1601～1665）。

费尔马是一个不折不扣的数学业余好者，但他既是解析几何的发明者(与笛卡尔共有)，也是概率论的开创者(与帕斯卡同享)，还是数论领域中的先驱者。

1640年费尔马给出—个定理：形如4n+l的—个质数可能而且只能以—种方式表达为两个平方数之和。同年Fermat在给朋友的一封信中指出后来被称为“费尔马小定理” 的断言：若p是质数且a与p互质，则p ︱ (ap - a)。

另外一个特别的问题就是著名的“费尔马大定理” ：

nnn设整数n＞2，则x?y?z没有正整数解。

这一问题直到1994年9月，年轻的英国数学家怀尔斯(Andrew．Wiles) (时年41岁)最终完成了证明过程。 2．高斯与数论

尽管费尔马作为现代数论先驱者的地位不可动摇，然而现代数论的统一理论的创建者却是天才数学家高斯。

1777年高斯（Gauss）生于德国，死于1855年。1801年，年仅24岁的高斯编写了《算术研究》，这部著作的出版标志着费尔马时代的那种“问题式” 数论的结束，而—种全新的 —— 纯理论的数论研究方式的正式开始，它把数论研究提高到了—个更高的境界，因此历史上一般认为1801为现代数论的诞生之年。

四.哥德巴赫猜想

也许费尔马大定理的征明与否并不重要，但人们长期艰苦的探索却大大

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地促进了数学、特别是数论方面的发展，其历史意义已远远超出了其定理本身。而在数论领域内与之具有相似作用的“预言”，便是“哥德巴赫猜想”。

1742年德国一位名叫哥德巴赫(Glodbach，1690～1764)的教师在对正整数分拆成几个数之和时发现，可能每个偶数(大于2)都可以表示成两个素数之和，为此他对许多偶数作了验证，结果都是对的，(如36=17+19)。

1918年布朗(Brown，又译布润，F.Brun，栩6威)采用“筛法”证明了如下结论：每个大偶数都是9个素因子之积加上9个素因子之积。简记作命题〖9+9〗。

二十世纪三十年代，数学家们证明了命题〖6+6〗；1956年维诺格拉多夫(俄，189l～1983)证明了命题〖3+3〗 (例如490=3×5×7+5×7×11)；1957年中国数学家王元证得命题〖3+2〗。

至1948年开始，数学家采用另一种方式，即证明命题〖1+c〗来寻求突破的方向。兰恩(Lane，匈牙利)，潘承洞，王元，以及勃姆别里（Bombieri）分别证明了命题〖1+6〗,〖1+5〗,〖1+4〗以及〖1+3〗。

1966年陈景润（1933～1996）经过艰苦的努力终于证明了命题〖1+2〗， 1973年正式以题目《大素数表为一个素数及不超过两个素数积之和》发表， 这—伟大成就被誉为“光辉的顶点”，并命名为“陈氏定理”。

五.数论发展历史的启示意义

1.从历史的角度来看，由于深刻的文化内涵附着于数之身上，使得看似枯 燥的数字蕴藏着丰富的思想内容。

2.好奇心与好胜心往往是人类探索奥秘的原动力。

3.数学历史上的“问题”有千千万万，惟独数论“问题”使人们乐此不疲、 如痢如醉。这个现象容易促使我们关注“问题”的类型、特点和方式对人们的导向作用。

〖问题2.2〗

1. 现代数论的诞生之年是哪一年？它是以什么事件作为标志的？ 2. 欧几里德关于命题“素数的个数是无穷的”的证明对“反证法”的教学具有什么启示？

3. 通过数论发展历史的启示，如何认识“问题教学”在数学教学中的作用？ 4. 试用爱拉多塞的“筛法”找出所有四十以内的质数。

5. 运用“大衍求一术”求解杨辉的问题“二数余一，五数余二，七数余三，

九数余四，问原数几何?”

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