北师大版2019届高考数学一轮复习学案
第五节 综合法、分析法、反证法
［考纲传真］(教师用书独具)1. 了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法； 析法和综合法的思考过程和特点； 2. 了解间接证明的一种基本方法一一反证法； 的思考过程和特点.
了解分 了解反证法
双基自主测评I 梳理自浪」
(对应学生用书第101页) ［基础知识填充］
1 ?综合法、分析法
内容 综合法 从命题的条件出发，利用定义、公 理、定理及运算法则，通过演绎推 定义 理，一步一步地接近要证明的结 论直分析法 从求证的结论出发， 一步一步地探 索保证前一个结论成立的充分条 件，直到归结为这个命题的条件， 或者归结到完成命题的证明.我们把 这样的思维为定义、公理、定理等.我 们把这样的实质 方法称为综合法 由因导果 思维方法称为分析法 执果索因 框图表 示 Q?P T P?P2 P? Q T Q? Q T—> Q? Q T...T得到一个明显 TT^成立的条件 文字语 因为……所以……或由…… 得…… 言_言. 2.反证法 要证……只需证……即证…… (1) 反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下， 经过推理，若推出的结果
与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而 说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法. (2) 反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论.
［基本能力自测］
1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)
(1) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件. (2) 用反证法证明结论“ a> b”时，应假设“ av b”.( (3) 反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.
)
( )
( )
再用综合法展现解决问题的
(4) 在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，
1
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过程.( )
2
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[答案]
⑴ X （2） X （3） X （4） V
A> B只需②Cv D,这里①是②的（
充分条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件
2?用分析法证明时出现：欲使①
A.
C.充要条件
）
B [由题意可知②？①，故①是②的必要条件.]
3?用反证法证明命题：“已知 a, b为实数，则方程 x2+ ax+ b= 0至少有一个实根”时,
要做的假设是（
）
A. 方程x2 + ax+ b= 0没有实根 B. 方程x2 + ax+ b= 0至多有一个实根
2
C. 方程x + ax+ b= 0至多有两个实根 D. 方程x2 + ax+ b= 0恰好有两个实根
A [“方程x2+ ax+ b= 0至少有一个实根”的反面是“方程 根”，故选A.]
1
4.
+ -，c+-二个数（
A. 都大于2 B. 都小于2 C. D.
a
x2+ ax+ b= 0没有实
1 1
设a, b, c都是正数，则 a+二，b
b c a
）
至少有一个不大于 2 至少有一个不小于 2
+b +
(c+1)
a
+a卄叶b卄b+势6,
1
当且仅当a= b= c时取等号, 三个数中至少有一个不小于 2.]
5. （教材改编）在厶ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为a, b, c,且A, B, C成等差数
列，a, b, c成等比数列，则△ ABC的形状为 ____________ 三角形.
等边[由题意2B= A+ C,
n __ 2
又 A+ B+ C= n , . B= ~，又 b = ac,
3
由余弦定理得 b2 = a2 + c2— 2accos B= a2 + c2— ac,
a + c — 2ac = 0,即(a — c) = 0, . a= c,
3
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A= C,. A= B= C= ~,
3
? △ ABC为等边三角形.]
题型分类突破I典例剖析探求规律方法
(对应学生用书第102页)
综合法 釦 (2017 ?江苏高考)对于给定的正整数 k,若数列｛an｝满足：an— k+ an- l +…+ an-1 + an+1 +…+ an+
k+
k—1
+ an+k= 2kan,对任意正整数 n(n>k)总成立，则称数列｛an｝是\P(k)数
列”.
(1) 证明：等差数列｛an｝是“ R3)数列”；
(2) 若数列｛an｝既是“ F(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明：｛an｝是等差数列. ［证明］(1)因为｛an｝是等差数列，设其公差为
d,贝U
an= a1+ (n— 1) d,
从而，当n》4时，
an—k + an+ k= at + ( n — k— 1) d+ a1 + (n+ k— 1) d
=2a1+ 2(n— 1)d = 2an, k= 1,2,3 ,
所以 an— 3+ an— 2+ an—1 + dn+1 + dn+ 2 + an + 3 = 6an, 因此等差数列｛an｝是“ P(3)数列”. (2)数列｛a.｝既是“ R2)数列”，又是“ P(3)数列”，因此， 当 n》3 时，an—2 + an — 1 + an + 1 + an + 2= 4an,① 当 n时，an—3 + an—2 + an—1 + an+1 + an+ 2+ ai+3= 6an.② 由①知， an— 3 + an— 2= 4an— 1 — ( an+ an+ 1)，③
an+ 2 + an+ 3= 4dn+ 1 — ( an— 1 + an).④
将③④代入②，得 an— 1 + an+1 = 2an,其中n》4, 所以a3, a4, a5,…是等差数列，设其公差为
d'.
在①中，取 n=4，贝U a2 + a3+ a5 + a6= 4a4,所以 a2=空—d', 在①中，取 n= 3，贝U a1 + a2+
a4 + a5= 4a3，所以 a1 = a3 — 2d', 所以数列｛an｝是等差数列.
［规律方法］用综合法证题是从已知条件出发， 析法探路，综合法书写?综合法的适用范围： 1定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式； 2已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 ［跟踪训练］ 设a, b, c均为正数，且 a+ b+ c= 1.
逐步推向结论，常与分析法结合使用， 用分 4