列不定方程解应用题

教学目标

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧

2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤

1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解

模块一、不定方程与数论

【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要

尽量大），求这两个数．

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x和13y，则有：

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11x?13y?2001，要让x取最小值，y取最大值．

2001?11x13?153?12?13x?2x12?2x12?2x，可见是??153?x?13131313整数，满足这一条件的x最小为7，且当x?7时，y?148． 可把式子变形为：y?则拆成的两个数分别是7?11?77和148?13?1924． 【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．

【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了

300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲搬的是18x块，乙搬的是23y块．那么18x?23y?300．观察发现18x和300都

是6的倍数，所以y也是6的倍数．由于y?300?23?13，所以y只能为6或12． y?6时18x?162，得到x?9；

y?12时18x?24，此时x不是整数，矛盾．

所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块． 【答案】甲比乙搬得多，多24块

【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？ 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设5角和8角的邮票分别有x张和y张，那么就有等量关系：5x?8y?47．

尝试y的取值，当y取4时，x能取得整数3，当y再增大，取大于等于6的数时，x没有自然数解．所以8角的邮票需要4张． 【答案】8角的邮票需要4张

【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所

有自然数之和为___________________.

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】北大附中，资优博雅杯

【解析】 若是四位数abcd，则16??a?b?c?d?≤16?36<1000，矛盾，四位以上的自然数

也不可能。

若是两位数ab，则16??a?b??10a?b?ab，也不可能，故只有三位数abc. 16??a?b?c??100a?10b?c，化简得28a?2b?5c.由于2b?5c?7?9?63， 所以a?1或b?2.a?1时，b?9，c?2，或b?4，c?4；a?2时，b?8，c?8. 所以所有自然数之和为192?144?288?624. 【答案】所有满足条件的自然数之和为624

模块二、不定方程与应用题

【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克

油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设有大油桶x个，小油桶y个．由题意得：

8x?5y?44 可知8x?44，所以x?0、1、2、3、4、5．由于x、y必须为整数，所以相应的将x的所有可能值代入方程，可得x?3时，y?4这一组整数解． 所以大油桶有3个，小油桶有4个．

小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便

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可轻松求解.

【答案】大油桶有3个，小油桶有4个

【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让

“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了x次和y次，则：5x?4y?31．可见x除以4的余数为3，

而且x不能超过6，所以x?3，y?4．即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次． 【答案】丁丁命中了3次，冬冬命中了4次

【巩固】 某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、

7环和5环各几发？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

?x?y?z?8LLLL(1)【解析】 假设命中10环x发，7环y发，5环z发，则?由⑵可知7y

10x?7y?5z?53L?(2)?除以5的余数为3，所以y?4、9……如果y为9，则7y?63?53，所以y只能为

4，代入原方程组可解得x?1，z?3．所以他命中10环1发，7环4发，5环3发．

【答案】命中10环1发，7环4发，5环3发

【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，

1现在有的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加

3(成人和孩子)？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设参加的男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程：

1130x?100y??x?y??60?2160，即150x?120y?2160，化简得5x?4y?72．这

3?x?4?x?8?x?12?x?0个方程有四组解：?，?，?和?，

y?13y?8y?3y?18????1但是由于有的成人带着孩子，所以x?y能被3整除，检验可知只有后两组满足．

311所以，这个活动共有12?3???12?3??20人或18??18?24人参加．

33【答案】这个活动共有20人或24人参加

1【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个

3孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

1【解析】 因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x人，

3女职工有y人． 则职工总人数是?x?y?人，孩子是

x?y人．得到方程：13x?10y??x?y??3?6?216，化33-3-3.列不定方程解应用题.题库 教师版 page 3 of 14

简得：5x?4y?72．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当y?3时，x?12；当y?8时，x?8；当y?13，x?4．其中只有3?12?15是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．

【答案】其中有12名男职工

【例 6】 张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果20天都缝制上衣，共可缝制?3?2??20?100件，实际上比这多缝制了

134?100?34件，这就要把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换9?3?6件，李师傅

每天可多换7?2?5件，设张师傅缝制裙裤x天，李师傅缝制裙裤y天，则：6x?5y?34，整数解只有x?4，y?2．

因此共缝制裙裤9?4?7?2?50件，上衣共134?50?84件． 【答案】上衣共84件

【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是

早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x次，晚上见面y次．根据题意有：3x?5y?61(x≤15，y≤15)． 可以凑出，当x?2时，y?11；当x?7时，y?8；当x?12时，y?5．

因为小花狗共叫了2?x?y? 声，那么?x?y?越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当x?12，y?5时波斯猫叫得最少，共叫了1?12?3?5?27(声)．

【答案】叫了27声

【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生

产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件，则他们生产B配件所用的时间分别为

那么10天内共生产了A配件(300x?120y)个，共生产了B(10?x)天和(10?y)天，

配件

150?(10?x)?48?(10?y)?1980?150x?48y个．要将它们配成套，A配件与B配件的数量

330?28y应相等，即300x?120y?1980?150x?48y，得到75x?28y?330，则x?．

75330?28y此时生产的产品的套数为300x?120y?300??120y?1320?8y，要使生产的产品

75最多，就要使得y最大，而y最大为10，所以最多能生产出1320?8?10?1400套产品． 【答案】最多能生产出1400套产品

【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙

车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？

【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子

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