概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率
一、单选题
1.事件AB表示 （ C ）
（A） 事件A与事件B同时发生 （B） 事件A与事件B都不发生 （C） 事件A与事件B不同时发生 （D） 以上都不对
2.事件A,B，有A?B，则A?B?（ B ）
（A） A （B）B （C） AB （D）A?B
3.设随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是（ C ）
(A)P(C)?P(AB) (B)P(C)?P(A)?P(B)
(C)P(C)?P(A)?P(B)?1 (D)P(C)?P(A)?P(B)?1
二、填空题
1.设A,B,C表示三个随机事件，用A,B,C的关系和运算表示 （1）仅A发生为：ABC；
（2）A,B,C中正好有一个发生为：ABC?ABC?ABC； （3）A,B,C中至少有一个发生为：A?B?C； （4）A,B,C中至少有一个不发生表示为：A?B?C .
2.设P(A)?0.3，P(A?B)?0.6，若A?B，则P(B)? 0.6 .
§1.3古典概率
一、单选题
1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）
1331 （B） （C） （D） 251010二、填空题
（A）
1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概
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11C3C23率为? . 2C552.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为
3!8! . 10!3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队
19C2C1810被分在不同组内的概率为?. 1019C204.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 .
三、计算题
1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率
（1）A---任意3个盒子中各有一球；（2）B---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球. 12131C4C3C3C43!3C419?解：（1）P(A)?3? （2）P(B)?3? （3）P(C)? 3816164442. 某产品有大、中、小三种型号.某公司发出17件此产品,其中10件大号,4件中号，3
件小号.交货人粗心随意将这些产品发给顾客.问一个订货为4件大号、3件中号和2件小号的顾客，能按所定型号如数得到订货的概率是多少？
432C10C4C3252解：P(A)???0.104 9C1724313．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3
件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；
（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率. 解：设事件Ai表示取出的3件产品中有2件i等品，其中i=1，2，3；
（1）所求事件为事件A1、A2、A3的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故
12121C92C11?C7C13?C4C16=0.671 P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?3C20 （2）设事件A表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A表示取出的
111C9C7C43件产品中等级各不相同，则P(A)?1?P(A)?1??0.779 3C20§1.4条件概率
一、单选题
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1.事件A,B为两个互不相容事件，且P(A)?0,P(B)?0，则必有( B )
(A) P(A)?1?P(B) (B) P(A|B)?0
(C ) P(A|B)?1 (D) P(A|B)?1
2.将一枚筛子先后掷两次，设事件A表示两次出现的点数之和是10，事件B表示第一次出现的点数大于第二次，则P(BA)?（ A ）
1125 (B) (C ) (D) 34563.设A、B是两个事件，若B发生必然导致A发生，则下列式子中正确的是（ A ）
(A)
(A)P(A?B)?P(A) (B)P(AB)?P(A) (C)P(BA)?P(B) (D)P(B?A)?P(B)?P(A)
4．袋中有5个球，3个新球，2个旧球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到新球的概率为 （ A ）
33 (B) 54二、填空题
(A)
(C )
23 (D ) 4101.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BA)=0.8，则和事件A?B的概率P(A?B)? 0.7 .
2.A,B是两事件，P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(B|A)?0.6,则P(A|A?B)? 0.577 . 3.某厂一批产品中有4%的废品，而合格品中有75%的一等品.从该批产品中任取一件产品
为一等品的概率为 0.72 .
4.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为
1 . 65. 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是 0.5 .
6.试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的.任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85 .
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三、计算题
1. 据多年来的气象记录知甲、乙两城市在一年内的雨天分布是均等的,且雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.求
(1) 某一天两市中至少有一市下雨的概率; (2) 乙市下雨的条件下, 甲市也下雨的概率; (3) 甲市下雨的条件下, 乙市也下雨的概率. 解：（1）0.26 （2）0.67 （3）0.6
2. 盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新球.第一次比赛时从中任取一个来用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取一个，求第二次取出的球是新球的概率. 解：设事件Bi表示第一次比赛时用了i个新球（i?0,1）,事件A表示第二次取出的球是新球，则
P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)
1111C8C8C7C2?1?1?1?1?0.72 C10C10C10C103. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查,已知这件产品是次品，求这件产品是甲车间生产的概率.（改一下） 解：
0.4?0.04?0.417
0.4?0.04?0.38?0.03?0.22?0.05§1.5 事件的独立性 §1.6 独立试验序列
一、单选题
?P（B）?0，则P(A?B)?（ B ） 1.设A、B是两个相互独立的随机事件,P（A）?P（B）?P（B）(A) P（A） (B) 1?P（A）
?P（B）(C) 1?P（A） (D) 1?P（AB ）2.设P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(AB)=0.8，则下列结论正确的是（ C ）
(A) 事件A与B互不相容 (B) A?B
(C) 事件A与B互相独立 (D) P(A?B)?P(A)?P(B)
3.设P(AB)?0,则( A )
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(A) A,B互不相容 (B) A,B独立 (C)P(A)?0或P(B)?0（D) P(A|B)?P(A) 4.每次试验成功率为p(0?p?1)，
(1)进行10次重复试验成功4次的概率为( A )
(2)进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B ) (3)进行10次重复试验，至少成功一次的概率为( D ) (4)进行10次重复试验，10次都失败的概率为( C )
4434 (A) C10p(1?p)6 (B) C9p(1?p)6 (C) (1?p)10 (D) 1?(1?p)10
二、填空题
1.设A与B为两相互独立的事件，P(A?B)=0.6，P(A)=0.4，则P(B)=
1. 32.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影响的，则加工出来的零件的次品率是 0.097 . 3.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5 .
4.进行8次独立射击,每次击中目标的概率为0.3, 则8次中至少击中2次的概率为 0.7447 .
5.射击运动中，一次射击最多能得10环.设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，则该运动员在三次独立的射击中得到不少于29环的概为 0.208 .
三、计算题
1.甲、乙两队进行排球比赛.如果每局甲队胜的概率为0.6，乙队胜的概率为0.4.比赛采取三局两胜制，求甲胜的概率; 如果比赛采取五局三胜制，求甲胜的概率. 解：（1）0.648 （2）0.682
2.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
解：三个灯泡的使用时数显然是相互独立的，已知n?3，p?0.8,q?0.2
003112 P(0?m?1)?P (0)?P(1)?C?0.8?0.2?C?0.8?0.23333 =0.104
3.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率. 解：设事件Ai表示第i台车床不需要照管，事件Ai表示第i台车床需要照管，（i=1，2，3）， 根据题设条件可知：
P(A1)?0.9,P(A1)?0.1
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P(A2)?0.8,P(A2)?0.2 P(A3)?0.7,P(A3)?0.3
设所求事件为B，则P(B)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) 根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到： P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.9?0.8?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3 =0.902
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布
一、单选题
1.设离散随机变量X的概率函数为:
P{X?k}?b?k,(k?1,2,3?),??1, 且b?0，则?为（ C ）
11 (D)?? 1?bb?152.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若P?X?1??,则P?Y?1??（ C ）
9(A) ??0 (B)??b?1 (C)??(A)
34 (B)
1729 (C)
1927 (D)
7 93.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )
32,b??55二、填空题
(A)a?(B)a?22,b?33(C)a??13,b?22(D)a?13,b?? 221.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
41, 失败的概率为, 将试验进行到出现55一次成功为止, 以X表示所需试验次数, 则X的概率函数是
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14P?X?k??()k?1? , k?1,2,? .
552.如果随机变量X的概率分布如下所示,则C? X
25 . 120 1 2 3
P 1111
2C3C4CC3.设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知P?X?1??P?X?2?, 则 P?X?4?＝2?2e3(0.0902) .
三、计算题
X1.设随机变量X的概率分布为
P?10113611 2求X的分布函数.
x??1?0,?1?,?1?x?0?3解：F(x)??
1?,0?x?1?2?1,x?1?2. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X表示取出的：3个球中的最大号码, 试求X的概率分布. 解：X的可能取值为3、4、5，又
2C32C41133P{X?3}?3?,P{X?4}?3?,P{X?5}?3?
C510C510C55 X 3 4 5 P
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313 10510概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
3.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为?的泊松分布,即X~P(?),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. （1）求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率. 解：?X~P(?)?P{X?k}??ke??k!,k?0,1,2?
P{X?8}?2.5P{X?10},?8e??8!?2.5??10e??10!
?2?36,??668e?6610e?6(1)P{X?8}??0.1033P{X?10}??0.04138!10! (2)P{X?0}?e??e?10?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975§2.3 连续型随机变量及其概率密度
一、单选题
1.下列函数中，可为随机变量X的密度函数的是（ B ）
?sinx, （A） f(x)???0,??sinx,（C） f(x)????0，0?x??其它??sinx, （B）f(x)????0,0?x?其它?2
0?x?3?2 （D）f(x)?sinx,???x??? 其它2.在区间??1,2?上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是（ B ）
?3,（A） f(x)???0, （C） f(x)?3,?1?x?2其它?1?, （B）f(x)??3??0,1,3?1?x?2其它
???x??? （D）f(x)?第 8 页
???x???
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3.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是（ C ）
?2e?2x, （A） f(x)???0,x?1?1?e2, （C） f(x)??2?0,?x?0x?0 （B） f(x)?2e?2x,???x???
x?0x?0x1?1 （D）f(x)?e2,2???x???
4.设X~N(?,?2),那么当?增大时，则P(X????)（ C ） (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定
二、填空题
1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(1)A????x???
1111; B? ;(2)P(?1?X?1)? 0.5 ;(3)概率密度f(x)?. 2?1?x2?2.设随机变量X在在区间??1,2?上服从均匀分布，则
（1）P(?6?x??1)? 0 , （2） P(?4?x?1)? 2/3 , （3）P(?2?x?3)? 1 , （4）P(1?x?6)? 1/3 . 3.设随机变量X~N(100,?2), 且P(X?103)?0.3085, 则P(97?X?103)? 0.383
三、计算题
?c?x,?1. 设随机变量X的概率密度：f(x)??c?x,?0,?求：（1）常数c；（2）概率P(X?0.5). 解：(1)
?1?x?00?x?1
x?1?0?1(c?x)dx??(c?x)dx?1，c=1
01 (2) P(X?0.5)=
?0?0.5(1?x)dx??(1?x)dx?0.75
00.5第 9 页
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2. 设随机变量X的概率密度为: f(x)?Ae?|x|,求: （1）系数A; （2）P(0?X?1). 解：（1）A?0.5 (2) P(0?X?1)????x???
1?x11edx?(1?)?0.316 ?022e13.设随机变量X服从正态分布N(1,22)，求下列概率：
（1）P(X?2.2) （2）P(?1.6?X?5.8)（3）P(X?3.5)（4）P(X?4.56) 解： (1)P(X?2.2)=0.7275 (2)P(?1.6?X?5.8)=0.8950
(3)P(X?3.5)=0.8822 (4)P(X?4.56)=0.0402
§2.4 随机变量的函数及其分布
一、计算题
1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布：
2（1）Y?2X?1 （2）Y?X?X (3)Y?X(X?1) 25 0.064 6 解：（1）
Y p （2） Y p （3）
Y p
第 10 页
-1 0.216 0 0.648 0 0.216 1 0.432 2 0.288 1 0.432 3 0.288 0.064 3 0.288 6 0.064 概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
2.设随机变量X的概率密度f(x)??求下列随机变量的概率密度：
2（1）Y?1?2X; （2）Y?1?2X; (3)Y?X.
?2x,?0,0?x?1其它，
?解：（1）f?y?1Y(y)??2,1?y?3
??0?1?y（2）f?Y(y)??2,?1?y?1
??0（3）f?y?1Y(y)???1,0
?0,3.设随机变量X的概率密度为：
f(x)???2e?2x,?0,求随机变量Y?2X的概率密度.
解：fY(y)???e?y,y?0 ?0,y?04.设随机变量X的概率密度为:
? f(x)??x?8,??0,求随机变量 Y?2X?8的概率密度.
?y?解：f(y)??8Y?32,8?y?16
??0
x?0x?0
0?x?4
x?4,x?0
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第三章 二维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量及其分布
一、单选题
?e?(x?y),x?0,y?0;1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)??
其他.?0,则P(X?Y)? （ A ）
（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.6
二、填空题
1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan则系数A=
x2y) 31?2，B=
?2，C=
?2， (X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?6 222?(x?4)(y?9)2.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为
?Ae?(2x?y), f(x,y)???0,x?0,y?0其他
则 A= 2 ;P{X?Y}? 2/3 ．
三、计算题
?e?y,0?x?y1.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??,
?0,其他 求P{X?Y?1}. 解：1?
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11?21 ee2概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0; f(x,y)??其他.?0,试求(1)常数A;(2)概率P(?1?X?1,?2?Y?2);(3)P(X?Y?1). 解：（1）由于 故
??????0??????f(x,y)?1，
A?1，所以A?2 221??0??Ae?(x?2y)dxdy?（2）P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4)
?Ae?(2x?y),x?0,y?0;3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,试求：（1）常数A ； (2) 概率P(X?Y) 解：（1）由于 故
??????0??????f(x,y)?1，
A?1，所以A?2 222e?(2x?y)dx?
3??0??Ae?(2x?y)dxdy??0（2）P(X?Y)??dy?y0§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性
1.下表列出了二维随机变量(X,Y)联合概率分布及关于X和关于Y的边缘概率分布的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 1 24y2 1 83 8y3 1 12P{X?xi}?pi? 1 4x1 x2 1 81 43 4第 13 页
概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名 P{Y?yi}?p?j 1 61 21 31 2.已知随机变量X1和X2的概率分布如下
X1 ?1 0 1
111P 4 2 4
X2 0 1 11P 2 2 而且P{X1X2?0}?1.（1）求X1和X2的联合分布；（2）问X1和X2是否独立？为什么？ 解： X2 X1 -1 0 1 0 0.25 0 0.25 1
（2）X1和X2不独立。
0 0．5 0 3.把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求(X,Y)的概率分布以及关于X、Y的边缘概率分布 .
解 X的可能取值为0，1,2,3；Y的可能取值为1,3
并且 (X,Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
11P{X?0,Y?3}?()3?
28第 14 页
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31112P{X?1,Y?1}?C3()()?
22832121 P{X?2,Y?1}?C3()()?
22811P{X?3,Y?3}?()3?
28得(X,Y)的分布及关于X、Y的边缘概率分布为
Y X 1 3 P{Xi} 1 83 83 81 80 1 2 3 0 3 83 81 80 0 1 82 80 6 8P{Yi}
1 ?2e?(x?2y),x?0,y?04.已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,判断随机变量X和Y是否独立？
?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 由于 fX(x)??， fY(y)??。
0,x?00,y?0??故f(x,y)?fX(x)fY(y) 所以随机变量X和Y独立。
25.设二维随机变量（X，Y）在抛物线y?x与直线y?x?2所围成的区域G上服从均
匀分布，求（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）P(X?Y?2).
2x?2解：（1）S ?dx1dy?G??1?x29 2第 15 页
?2??f(x,y)??9??0(x,y)?G其它概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
2x?22213dxdy?dxdy?（2）P(X?Y?2)? ?0?2?x9?1?x29271x?2第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
一、单选题
?0,x?0?31.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1，则E(X)?（ B ）
?1,x?1?（A）
???0x4dx （B）?3x3dx （C）?3x4dx （D） ?3x3dx
011??0??2.掷6颗骰子，令X为6颗骰子的点数之和，则E(X)?（ D ）
（A）42 （B）21/2 （C）7/2 （D） 21
二、填空题
?kx?,0?x?1,1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 其中k,??0，又已知
?0,其它,E?X??0.75，则k? 3 ，?? 2 . ?2X? 4/3 . 2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望EX?e??三、计算题
1. 设X的概率分布为
X p -1 0 1 2 3 1 31 61 61 121 42求：E?X?,E??3X?2?,EX.
??解：E?X??31,E??3X?2???3E?X??2?? 441 0 1 4 9 X p 21 31 6第 16 页
1 61 121 4概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
E?X2??
37 12?cxy,x?0,x2?y?12. 二维随机变量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??，
?0,其它求：E(X)，E(Y).
解：
E(X)??E(Y)???????????xf(x,y)dxdy?6?yf(x,y)dxdy?6?11x0222xydydx?3x?2?y0211y?1y?xy?1y?xdx?3?(x2?x6)dx?201014 7???????11x??03xydydx?2xy2??0dx?2?(x?x7)dx?23 43.设随机变量X在区间[0,?]上服从均匀分布，求随机变量函数Y?sinX的数学期望. 解：
EY?
??10?sinxdx?1?(?cosx)|?0?2?§4.2 方差与标准差
一、单选题
1.设随机变量X和Y相互独立,则下列结论不正确的是（ B ）
（A）D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)（B）D(X?2Y)?D(X)?4D(Y) （C）E(X?Y)?E(X)?E(Y) （D）E(XY)?E(X)E(Y) 2.随机变量X~U(a,b)，且E(X)?2,D(X)?1,则（ A ） 3 ( A ) a?1,b?3 ( B ) a?2,b?4 ( C ) a??1,b?1 ( D ) a?0,b?4
二、填空题
1.设X服从泊松分布，已知E?(X?1)(X?2)??1，则E?X?? 1 .
2.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X的数
2学期望EX? 18.4 . 2??第 17 页
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3.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?则E?X?? 1 ,D?X?? 0.5 .
1?e?x2?2x?1，
?1,X?0,?4.设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y??0,X?0, 则方差
??1,X?0，?D?Y?2?? 8/9 .
三、计算题
1. 随机变量X与Y相互独立，它们的分布律分别为： 0 1 -1 Y X -2 -1 P 0.3 0.2 0.3 0.2 P 0.3
求：（1）E(2X?3Y);（2）D(2X?3Y). 解：（1）E(X)??0.6,E(Y)??0.1
0 0.5 1 0.2 E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?(?0.6)?3(?0.1)??0.9
（2） 1 4 X2 0 0.3 0.4 0.3 pk Y2 pk 0 0.5 1 0.5 E(X2)?1.6,E(Y2)?0.5?D(X)?E(X)?E(X)?1.6?0.36?1.2422
D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?0.5?0.01?0.49
D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?4?1.24?9?0.49?9.37
?2x,0?x?1;2.设随机变量X的概率密度为f(x)??,求D(X).
0,其他.?第 18 页
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解：
E?X???E?X2????12xf(x)dx??2x2dx?,03211xf(x)dx??2x3dx?, ??0221D(X)?E?X2???EX??????18.?????第五章 中心极限定理
一、计算题
1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.(?(1.2)?0.8849)
500) 解：设Xi表示第i页上的错误个数，(i?1,2,?，500) 则Xi~P(0.2)，因此E(Xi)?0.2,D(Xi)?0.2(i?1,2,?，设X表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知
X??Xi~N(100,100)
i?1500因此P?X?88??1?P?X?88??1?P??X?100?12?????(1.2)?0.8849 10??1002.已知在生产流水线上组装每件成品的时间X（min）服从指数分布，统计资料表明每件成品的组装时间平均为10min，各件成品的组装时间是相互独立的。 （1）求组装100件成品需要15小时至18小时的概率； （2）以0.95的概率保证在16小时内可以组装多少件成品.(
,?(1)?0.8413,?(1.645)?0.95) (?(0.8)?0.7881解：（1）?(0.8)??(?1)?0.6294
第 19 页
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3.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值.(?(2.5)?0.9938,?(1.5)?0.9332 ) 解: X~B（100, ， 因为 n?100 较大, 0.2） 所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p)
14?X?30）??( P（30?2014?20)??（） 44 ??(2.5)??（?1.5) ?0.9938?(1?0.9332)?0.927
4.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批
此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率；
（2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率.（?(1.25)?0.8944 ) 解:设X表示发生故障的家电数,则 (1) X~B（4, 0.2））） P（X?1=P（X?0）+P（X?1
=0.8+C4?0.2?0.8?0.8192 (2) X~B（100, ， 因为 n?100 较大, 0.2）413 所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p)
?1?P(X?25)?1??（ P（X?25）25?20） 41.25)?1?0.8944?0.1056 ?1??（
第六章 数理统计的基本知识
第 20 页
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一、单选题
1.设X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，则X1,X2,?,Xn必然满足( C ) （A）独立但分布不同 (B)分不相同但不独立 (C) 独立并且分布相同 (D)既不独立也不同分布
2.设总体X~N(?,?2),其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自总体的样本，则下列不是统计量的是（ C ）
（A）X1?X2?X3 (B)max{X1,X2,X3} (C)?2(X1?X2?X3) (D)
1(X1?X2?X3) 43.设X1,X2,?,Xn独立且服从同一分布N(?,?2)，X是样本均值，记1n21n1n21n2222，，，?Xi?X?S2???Xi?X?S3???Xi???S4???Xi???2，S??ni?1n?1i?1n?1i?1ni?121则下列服从t(n?1) 的是 ( A )
（A）t?X??X??X??X?? （B）t? （C）t? （D）t?
S3S1S2S4nnnn4.总体X服从正态分布N(?1,4)，X为其容量为100的样本的样本均值，则服从正态分布N(0,1)的是 （ A ）
( A ) 5X?5 ( B ) 5X?5 ( C )
1111X? ( D ) X?
555525.X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，X为样本均值，S为样本方差，则下列不正确的的是 （ C ）
( A ) X~N(?,?2n) ( B )
(X??)n?~N(0,1)
第 21 页
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(n?1)S2(X??)n2~?(n?1) ( C ) ~T(n) ( D ) 2?S6.设总体X~N(2,42),X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本，则下面结果正确的是 （ D ） ( A )
X?2X?2~N(0,1) ( B ) ~N(0,1) 416X?2X?2~N(0,1) ( D ) ~N(0,1) 24/n( C )
二、填空题
1.已知某总体X的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，
100.5，则样本均值x= 99.93 ，样本方差s= 1.43 ． 2.已知样本观测值为：
15.8,24.2,14.5,17.4,13.2,20.8,17.9,19.1,21.0,18.5,16.4,22.6 则样本均值x= 18.45 ，样本方差s= 10.775 ．
3.在一小时内观测电话用户对电话站的呼唤次数，按每分钟统计得到观测数据列表如下： 22呼唤次数xi/min频数mi081162217310465261 则样本均值x= 2 ，样本方差s= 1.966 ．
4.从总体N(63,49)中抽取容量为16的样本,则P(X?60)= 0.0436 ． 5.X1,?,X5和Y1,?,Y8是分别来自正态总体N(1,5)和N(?2,16)的两个独立样本， 则 X?2Y~ N(5,9) ．
第七章 参数估计
§7.1 点估计
第 22 页
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一、单选题
1.X1,X2,X3是来自总体X的样本，且E(X)??,D(X)??2，则下列不是?的无偏估计的是（ D ） ( A ) X2 ( B )
X1?X2?X3XXXXXX ( C ) 1?2?3 ( D ) 1?2?3
34246332.X1,X2,X3是来自正态总体N(?,?2)的样本，下列?的无偏估计量中最有效的是（ A ）
( A ) X ( B ) X2 ( C )
12111X1?X3 ( D ) X1?X2?X3 33424二、填空题
1.设总体X在区间?0,??上服从均匀分布，其中??0为未知参数.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，则参数?的矩估计值为 2 x ．
22.设总体X的均值E(X)??，方差D(X)??，则X是总体均值的无偏的、有效的、
2一致的估计量， S 是总体方差的无偏的、有效的、一致的估计量.
三、计算题
1.设总体X的概率分布为
X p 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得样本值x1?1,x2?2,x3?1,试求?的矩估计值和极大似然估计值.
解 ：(1)令X?E(X),
x1?x2?x31?2?1???2?4?(1??)?3(1??)2
334??5为矩估计值。 即：??2??3，求得?36具体地，x?第 23 页
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(2)似然函数为L(?)??p(x,?)??ii?1322?(1??)?2?2?5(1??)
取对数，得lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)于是，得
dlnL(?)51??5。 ???0.由此可得参数的极大似然估计值为求得?d??1??6
2. 设某厂生产的灯泡的寿命X服从寿命为?的指数分布，测得n个灯泡失效的时间为
x1,x2,?,xn，求?的矩估计值和极大似然估计值.
1n解：（1）E(X)?，所以??xi?x,
??ni?111??由此可得参数的矩估计值为?（2）似然函数 L(?)?n1. x??e?i?1?xi??n?e???xii?1n ，
ln(L(?))?nln???似然方程为
?xi?1ni，
dln(L(?))nn???xi?0，
d??i?1??解得 ?n?i?xi?1n1，其中x为样本均值 。 x1dln(L(?))1dln(L(?))?0，??时，?0， 时，
d?d?xx??1是L(?)的最大值点，1是?的极大似然估计值。 所以?xx因为??others?0,?3.设总体X的密度函数为f(x)??1?x，其中?未知，x1,x2,?,xn是一
??e,x?0,??0??第 24 页
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组样本观测值，求参数?的极大似然估计值.
??x 解：?§7.3 正态总体的置信区间
一、单选题
1. 若总体X~N(?,?2)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??变小，则?的置信区间（ B ）
(A)长度变大 (B)长度变小 （C）长度不变 (D)长度不一定不变
2.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足
2P(X?u?)??.若P(X?x)??，则x等于（ C ）
（A）u? (B)u21??2 (C)u1?? (D)u1??
23. 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20cm，样本标准差s?1cm，则?的置信度为0.90的置信区间是（ C ） (A)(20?(C)(20?1111t0.05(16),20?t0.05(16)) (B)(20?t0.1(16),20?t0.1(16)) 44441111t0.05(15),20?t0.05(15)) (D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)) 4444二、填空题
21.由来自正态总体X~N(?,0.9)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值x?5，
则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为 (19.87,20.15) ．（u0.025?1.96） 2.已知一批零件的长度X服从正态分布N(?,?)，从中随机地抽取16个零件，得平均长
2,40.49)．度为40cm，则?的置信度为0.95的置信区间为(39.51（t0.025(15)?2.13）
3.从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下 14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8
第 25 页
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若滚珠直径服从正态分布N(?,?2)，且?未知，则滚珠直径方差?的置信度为0.9的置
22信区间为 （0.14,0.32） ． （?0.05(9)?16.92,?0.95(9)?3.33）
2
三、计算题
1. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
如果已知干燥时间服从正态分布N(?,?2)，求?和?的0.90的置信区间.
22(t0.05(8)?1.86,?0(8)?15.51,?.050.95(8)?2.73)
解：（1） （5.64,6.36） （2）（0.11,0.63）
2.从长期生产实践知道，某厂生产的电子元件的使用寿命N(?,?2)。现从某一批电子元件中抽取5只，测得其使用寿命分别为
1455 1502 1370 1610 1430 试求（1）??100；（2）?未知.
这批电子元件的平均使用寿命?的置信区间.（?取0.05）(u0.025?1.96,t0.025(4)?2.776) 解：（1） （1385.75,1561.05） （2）（1361.68，1585.12）
第八章 假设检验
一、单选题
1. 在假设检验中,作出拒绝假设H0的决策时,则可能（ A ）错误 （A）犯第一类 （B）犯第二类 （C）犯第一类,也可能犯第二类 （D）不犯
2. 对正态总体?的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受H0:???0，那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（ A ） （A）必接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0
第 26 页
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3. 在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（ B ） （A）H1真，接受H1 （B）H1不真，接受H1 （C）H1真，拒绝H1 （D）H1不真，拒绝H1
二、计算题
1.已知在正常生产的情况下某种零件的质量服从正态分布N(54,0.752)。从某日生产的零件中抽取9件，测得质量（ｇ）如下：
55.1， 53.8， 54.2， 53.0， 54.2， 55.0， 55.8， 55.1， 55.2 . 如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异？???0.05,u0.025?1.96? 解：假设H0:???0?54,H1:??54
?H0成立，?U?X??0??N(0,1)
n??0.05,u??u0.025?1.96,??0.75,n?9
2x?55.1?53.8?54.2?53?54.2?55?55.8?55.1?55.2?54.69x??054.6?541.8u????2.4
?0.750.753n2
u?2.4?u?，样本在拒绝域中，拒绝假设H0,认为有明显差异。
2.某工厂用自动包装机包装奶粉，今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋，测得各袋的重
量（单位:g）为
495， 510， 505， 489， 503， 502， 512， 497， 506， 492
2设包装机称得的奶粉重量X~N(?,?)，在显著性水平??0.02下能否认为
22（1）??500；（2）?＝5. （t0.01(9)?2.82,?0.01(9)?21.67,?0.99(9)?2.09）
解：（1）假设H0:??500,H1:??500
?H0成立，?t?
X??0?t(9) sn第 27 页
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x?501.1,s?7.637 t?x??0?0.455?2.82 接受假设H0 sn（2）同理接受假设H0
模拟题（一）
一.选择题（每空4分，共20分）
1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?11， P(AB)?0， P(AC)?P(BC)?.则事件A、416B、C全不发生的概率为（ ）
5623 （A） （B） （C） （D）
88882.离散型随机变量X的概率分布为：
X ?1 0 1 pk 则 ?? ( ).
（A）
?2 ?(2??) ? 2
1251 （B） （C） （D） 55663.设随机变量X,Y相互独立，且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4），则 E(2X?Y)2?（ ）
（A） 12.6 （B）14.8 （C）15.2 （D）18.9 4.样本(X1,X2,X3)来自总体X，且E(X)??,D(X)??2，则有（ ） （A）X1?X2?X3是?的无偏估计 （B）（C）
X1?X2?X3?是的无偏估计
3X1?X2?X3?2是的无偏估计 （D）X是?2的无偏估计
45.在假设检验中,作出拒绝假设H0的决策时,则可能（ ）错误
（A）犯第一类 （B）犯第二类 （C）犯第一类,也可能犯第二类 （D）不犯
二.填空题（每空4分，共20分）
1.把5本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为 . 2.设连续随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,???x???
第 28 页
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则P(?1?X?1)? .
3.设随机变量X的概率密度为fX(x)?
1,???x???， 2?(1?x)则随机变量Y?1?3X的概率密度fY(y)= . ?a?bx2,0?x?134.设随机变量X的概率密度为f(x)??，已知E(X)?,
5其他?0,则D(X)? .
5.进行10次独立测试，测得零件直径（mm）的样本观测值为：
5.21 4.77 5.64 5.93 5.37 4.93 5.56 5.45 5.39 5.08 设零件直径服从正态分布N(?,?2),则零件直径的均值?的置信水平为0.95的置信区
间为 .(t0.025(9)?2.26)（精确到小数点后两位数字）
三.计算题（每题10分）
1.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1.
一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率.
?c?x,?2.设随机变量X的概率密度：f(x)??c?x,?0,?1求：（1）常数c；（2）概率P(|X|?).
3
第 29 页
?1?x?00?x?1 x?1概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
3.设(X,Y)在A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求:E(X),E(?3X?2Y).
4.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量且相互独立,其数学期望均为2，方差均为1.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目
) 标的概率.(?(2)?0.9772
第 30 页
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5.设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,?.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，求参数p的极大似然估计值.
6.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(?,?2),且标准差
??0.222.现在测量7炉铁水，其含碳量分别为：
4.98 4.04 4.11 4.72 4.35 4.17 4.56 在显著性水平??0.05下，问：总体标准差有无明显变化？
22 ??（?06?14.4，?）.0250.975?6??1.24
第 31 页
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模拟题（二）
一.选择题（每空4分，共20分）
1.已知事件A、B满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?（ (A) 1?p (B) p (C) p2 (D) 1?p2
2.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p), 若P?X?1??59,则P?Y?1???(A)
34 (B)
1729 (C)
1927 (D)
79 3.设随机变量X的概率密度为
)???2e?2xf(x,x?0?0,x?0
则随机变量Y?2X的概率密度为（ ）
A） f?2e?y（,y?0Y(y)?? （B）f?2e?2y,y?0?0,y?0Y(y)???0,y?0f?e?2y（C） ,y?0?e?yy?0Y(y)???0,y?0 （D）f?,Y(y)??0,y?0
4. 随机变量X与Y相互独立，(X,Y)的联合分布律如下：
Y X ?1 0 p?j 1 11 4 a 2 3 b c d pi? e f
则下列不正确的是（ ）
第 32 页
?
）
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( A ) a?
1111 ( B ) b? ( C ) e? ( D ) f? 44245.设X1,X2,?,Xn独立且服从同一分布N(?,?2)，X是样本均值，记1n21n1n21n2222 ??S?Xi?X?Xi???S4???Xi???2，S2???Xi?X?S3???ni?1n?1i?1n?1i?1ni?121则下列服从t(n?1) 的是 ( )
（A）t?X??X??X??X?? （B）t? （C）t? （D）t?
S3S1S2S4nnnn二.填空题（每空4分，共20分）
1.已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，则条件概率P(BA?B)? . 2.设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?0}?e?2， 则P{X?1}? .
3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X的
2数学期望EX? . 2??4.X1,?,X5和Y1,?,Y8是分别来自正态总体N(1,5)和N(?2,16)的两个独立样本， 则 X?2Y~ ．
5.由来自正态总体X~N(?,0.92)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值x?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为 ．（u0.025?1.96）
三、计算题（每题10分）
1. 盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新球。第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率.
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2.已知离散型随机变量X的分布律为：
X ?1 0 1 2 pk 20.2 0.6 0.1 0.1 求：（1）2X?1的分布律；（2）D(X).
3. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0; f(x,y)??0,其他.?试求(1)常数A;(2)概率P(?1?X?1,?2?Y?2).
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4.一工厂有200台机器，白天每台机器开着的概率为0.8，各个机器是否工作相互独立，求白天同时开着的机器数超过168的概率.(?(1.41)?0.9207)
??x??1,0?x?15.设总体X的概率密度为f(x)??，（0???1）
0, 其它?如果取得样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数?的极大似然估计值.
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6.某工厂生产一种零件，其口径X~N(15.1,0.152)，现引进新技术，又从新生产的零
件中随机抽取9个，分别测得其口径如下：
14.6 14.7 15.1 15.0 14.8 14.8 15.0 14.9 15.2 （1）求样本均值x；
（2）若标准差不变，问总体的均值?是否有显著变化? ???0.05,u0.025?1.96?
模拟题（三）
一.选择题（每空4分，共20分）
1.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则以下结论中正确的是（ ） (A)A和B都发生的概率等于1?p (B)A和B只有一个发生的概率等于1?p (C)A和B至少有一个发生的概率等于1?p
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(D)A发生B不发生或B发生A不发生的概率等于1?p
2.每次试验成功率为p(0?p?1)，进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )
4333444(A)C10p4(1?p)6 (B)C9p(1?p)6 p(1?p)6 (C)C9p(1?p)5 (D)C93.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ ）
（A） 0?f(x)?1 （B） 0?F(x)?1
（C）
?????f(x)dx?1 （D） f(x)?F'(x)
4.设X~N(?,?2),那么当?增大时，则P(X????)（ ） (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 5.设总体X~N(?,?)，则统计量??221?2?(Xi?1ni?X)2~（ ）
(A)
?2(n) (B) ?2(n?1) (C) t(n?1) (D) t(n)
二.填空题（每空4分，共20分）
1.为了减少比赛场次，把10个球队任意分成两组，每组5队进行比赛，则最强的两个队被分在不同组内的概率为 ．
?Ax2e?x，2.设随机变量X的概率密度为f(x)???0,概率P(X?1)= ．
x?0x?0 ，则A? ，
?x?,0?x?43.设随机变量X的密度函数为fX(x)??8，则随机变量Y?2X?8的概率
?others?0,密度为 ．
4. 进行5次独立测试，测得零件直径（mm）的样本观测值为：5.23 5.13 4.94 4.81 5.47，设零件直径服从正态分布N(?,?2),则零件直径的标准差?的置信水平为0.95
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的置信区间为 .（精确到小数点后二位数字）
22. （?0（4）?11.14，?0（4）?0.48）.025.975
三、计算题（每题10分）
1. 某种仪器由3个部件组装而成.假设各部件质量互不影响且它们的优质品率都是0.8.
已知如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器合格率为0.8; 如果有两个部件不是优质品,则组装后的仪器合格率为0.4; 如果三个部件都不是优质品,则组装后的仪器合格率为0.1. 试求仪器的合格率.
2.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E(X)，D(X).
3.设二维随机变量(X,Y)在y?x2与y?x?2所围成的区域G上服从均匀分布. 试求（1）联合概率密度f(x,y)； （2） 概率P(X?Y?2).
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4.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率 ( ?(1.25)?0.8944 )
??e??x,x?05.设总体X的概率密度为f(x)??，求参数?的极大似然估计值.
0, x?0?
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6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下， （1）是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ （2）是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16？
22(t0.025(35)?2.02,?0)?59.3,?0)?26.5) .025(35.975(352
模拟题（四）
一、填空题（每空4分，共20分）
1.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X?0}?1,则P{Y?1}? . 422.设随机变量X~N(50,?),且P(47?X?53)?0.6826,则P(X?53)? . 3.已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,则随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)? . 第 40 页
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?1?2?x3,1?x?84.随机变量X的概率密度为：f(x)??3
?0,其它?则Y??lnX的概率密度为 .
5.有一大批糖果. 现从中随机地取16袋, 称得重量(单位:g)如下:
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512,
514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496.
设袋装糖果的重量服从正态分布,则总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为
.(t0.025(15)?2.13)
二、选择题（每空4分，共20分）
1.离散型随机变量X的分布律为：
X pk 则C? ( )
(A)
?1 2 C0 1 3C1 1 C2 3 2C29203125 (B) (C) (D) 6666?x2.设连续型随机变量X的概率密度为： f(x)?Ae则A? ( )
(A) ?1 (B) 1 (C)
，???x???
11 (D) ? 22
3.设随机变量X与Y独立，其概率分布分别为
X pX(xi) ?1 1 21
Y 1 2pY(yj) ?1 1 21 1 2则下列式子正确的是（ ）
(A)X?Y (B)P(X?Y)?1 (C)P(X?Y)?1 (D)P(X?Y)?0 24.设随机变量X与Y独立，X~B(10,0.2),Y~B(10,0.4)，则E(2X?Y)?（ ）
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(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
5.设总体X~N(2,42),X1,X2,?,Xn为取自总体X的一个样本,则下面结果正确的
是（ ）
(A)
X?2X?2~N(0,1) (B)~N(0,1) 416X?2X?2~N(0,1) (D)~N(0,1)
42n三、计算题（每题10分）
(C)
1.一批产品有三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家提供的产品比例为1:2:3，其次品率分别为0.03，0.03，0.02， 求：（1）从这批产品中任取一件是次品的概率； （2）若取到的是次品，则它是甲厂提供的概率.
?kx,?2.设随机变量X具有概率密度f(x)??2?x,?0,?0?x?2,2?x?4, 其他（1）确定常数k；（2）求P?1?X?3?；（3）求E(X).
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3. 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ae?y,0?x?yf(x,y)??
0, others.?试求（1）常数A ,（2）P{X?Y?1}.
4.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.(?(1.2)?0.8849)
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5.设随机变量X的概率密度为
?(??1)x?,0?x?1 f(x)??其它. ?0, 其中???1是未知参数. 如果取得样本观测值x1,x2,?,xn， 试求参数?的极大似然估计值.
6.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(?,?),且标准差
2??0.222.现在测量7炉铁水，其含碳量分别为：4.98 4.04 4.11 4.72 4.35 4.17 4.56在显著性水平??0.05下，问：总体标准差有无明显变化？
22(?0(6)?14.4,?.0250.975(6)?1.24)
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模拟题（一）答案
一. B B B B A 二. 0.3 0.5
3(1?y)2 (???y???)
?[1?(1?y)6]2 25 （5.09,5.58）
三.计算题（每题10分）
1.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率.
解:设Ai?“每箱有i只次品” （i?0,1,2,) , B?“买下该箱” -------（2分） P(B)?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) -------（3分）
44C19C18 ?0.8?1?0.1?4?0.1?4?0.94 -------（5分）
C20C20?c?x,?2.设随机变量X的概率密度：f(x)??c?x,?0,?1求：（1）常数c；（2）概率P(|X|?).
3解：（1）
?1?x?00?x?1
x?1?0?1(c?x)dx??(c?x)dx?1，c?1 -------（5分）
01 （2） P(X?0.5)=
?0?0.5(1?x)dx??(1?x)dx?0.75 -------（5分）
00.53.设(X,Y)在A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，
第 45 页
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求:E(X),E(?3X?2Y). 解：因为A的面积为
1，所以(X,Y)的概率密度为 2 f(x,y)???2,?1??1?y?x?0 -------（2分）
其它，?0,0?1E?X???E?Y????????????xf(x,y)dxdy??2x?1dydx?? -------（3分） ?1?x301yf(x,y)dxdy?? -------（3分）
?????31E??3X?2Y???3E?X??2E?Y?? -------（2分）
3????4.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量且相互独立,其数学期望均为2，方差均为1.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目
) 标的概率.(?(2)?0.9772解：设第k次轰炸命中目标的炸弹数目为Xk(k?1,2,?100)，
且E(Xk)?2,D(Xk)?1,(k?1,2,?,100) -------（2分）
由列维中心极限定理，知100次轰炸中命中目标的总炸弹数目
X??Xk~N(200,100) -------（3分）
k?1100故P(180?X?220)??(220?200180?200)??()?2?(2)?1?0.9544 1010 -------（5分） 5.设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,?.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，求参数p的极大似然估计值.
解： 似然函数为L(p)??(p(1?p)i?1nxi?1)?p(1?p)i?1n?xi?nn -------（3分）
取对数，得lnL(p)?nlnp?(?xi?1ni?n)ln(1?p). -------（2分）
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ndlnL(p)n1于是，得 ??(?xi?n)?0. -------（3分）
dpp1?pi?1??由此可得参数的最大似然估计值为p1. -------（2分） x6.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(?,?2),且标准差
??0.222.现在测量7炉铁水，其含碳量分别为：
4.98 4.04 4.11 4.72 4.35 4.17 4.56 在显著性水平??0.05下，问：总体标准差有无明显变化？
22 ??（?06?14.4，?）.0250.975?6??1.24解：设H0:??0.222;H1:??0.222 -------（2分） 由于?未知，所以 ??2(n?1)s2?2?6?0.122?14.834 -------（3分） 20.2222又?2?14.834??0.025(6)?14.4， -------（2分）
故拒绝原假设H0，认为含碳量的标准差比原来有显著化。 -------（3分）
模拟题（二）答案
一. A C D D A 二. 0.25 1?3e?2
18.4
N（5,9）
（19.87,20.15）
三、计算题（每题10分）
1. 盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新球。第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率. 解：设事件Bi表示第一次比赛时用了i个新球(i?0,1,2,3)，事件A表示第二次取出的球都是新球， -------（2分） 则P(A)??P(B)P(A|B) -------（3分）
iii?03第 47 页
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331312333C3C9C32C9C8C3C9C7C9C6?3?3?3?3?3?3?3?3?0.146 -------（5分） C12C12C12C12C12C12C12C122.已知离散型随机变量X的分布律为： X ?1 0 1 2 pk 20.2 0.6 0.1 0.1 求：（1）2X?1的分布律；（2）D(X). 解：(1)
2X2?1 pk 2X2?1 1 0.2 ?1 0.6 1 0.3 1 0.1 7 0.1 pk ?1 0.6 7 0.1 -------（5分） (2)E(X)?0.1，E(X)?0.7，D(X)?E(X)?[E(X)]?0.69 -------（5分） 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
222?Ae?(x?2y),x?0,y?0; f(x,y)??其他.?0,试求(1)常数A;(2)概率P(?1?X?1,?2?Y?2). 解：（1）由于 故
??????0??????f(x,y)?1，
A?1，所以A?2 -------（5分） 210??0??Ae?(x?2y)dxdy?（2）P(?1?X?1,?2?Y?2)??dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4) -------（5分）
024.一工厂有200台机器，白天每台机器开着的概率为0.8，各个机器是否工作相互独立，求白天同时开着的机器数超过164的概率.(?(1.41)?0.9207)
解：设白天开着的机器数为X，则X~B(200,0.8)， -------（2分）
E(X)?np?200?0.8?160,D(X)?npq?200?0.8?0.2?32,
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n?200较大，故X近似服从N(160,32). -------（3分）
P(X?168)?1?P(X?168)?1?P(?1?0.9207?0.0793X?160168?160?)?1??(2) 3232 -------（5分）
??x??1,0?x?15.设总体X的概率密度为f(x)??，（0???1）
?0, 其它如果取得样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数?的极大似然估计值.
n???1n?解：似然函数为L(?)??f(xi,?)???xi????xi?i?1i?1?i?1?nnn??1 -------（3分）
取对数，得lnL(?)?nln??(??1)?lnx， -------（2分）
ii?1dlnL(?)nn于是，???lnxi?0. -------（3分）
d??i?1???由此可得参数的极大似然估计值为求得?n. -------（2分）
i?lnxi?1n6.某工厂生产一种零件，其口径X~N(15.1,0.152)，现引进新技术，又从新生产的零
件中随机抽取9个，分别测得其口径如下：
14.6 14.7 15.1 15.0 14.8 14.8 15.0 14.9 15.2 （1）求样本均值x；
（2）若标准差不变，问总体的均值?是否有显著变化? ???0.05,u0.025?1.96?
19解：（1）x??xi?14.9 -------（2分）
9i?1（2）假设H0:???0?15.1,H1:??15.1
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U?X??0?~N(0,1) -------（3分）
n拒绝域为：u?u?
2u?x??0??n214.9?15.1??4 -------（2分）
0.153u?u?，故拒绝假设H0,认为总体均值有显著变化. -------（3分）
模拟题（三）
一. C A A C B
5二.
9 0.5 0.9197
?y?8,8?y?16? f(y)??32
??0 （0.15,0.74）
三、计算题（每题10分）
1. 某种仪器由3个部件组装而成.假设各部件质量互不影响且它们的优质品率都是0.8. 已知如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器合格率为0.8; 如果有两个部件不是优质品,则组装后的仪器合格率为0.4; 如果三个部件都不是优质品,则组装后的仪器合格率为0.1. 试求仪器的合格率. 解：设Ai={恰有i个部件是优质品}(i?0,1,2,3), B?{仪器合格} .则
1P(A0)?0.23?0.008, P(A1)?C30.8?0.22?0.096,
P(A2)?C320.82?0.2?0.384, P(A3)?0.83?0.512 . -------（5分）
P(B)?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)
?0.008?0.1?0.096?0.4?0.384?0.8?0.512?1?0.8584 . -------（5分） 2.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E(X)，D(X).
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