小学奥数基础教程（三年级）
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每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16 3.提示：四个顶点数之和为15×4－(1＋2＋?＋8)=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能。经试验只有左下图一个解。
4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于
(1＋2＋?＋8)÷7＝18。 填法见右上图。(填法不唯一)
5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。 (1＋2＋?＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5， 56＋顶上数=每条线上的和×5。
由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数”=4。所以每条线上的三个数之和为 (56＋4)÷5＝12。
经试验填法如上图。(填法不唯一) 6.与例5类似(见上图)。 第18讲 能被2，5整除的数的特征
同学们都知道，自然数和0统称为(非负)整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如， 84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。
而84不能被5整除，因为84÷5=16??4，有余数4。也不能被13整除，因为84÷13=6??6，有余数6。 因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除。
这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就
是讨论什么样的数能被2或5整除。 1.能被2整除的数的特征
因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，
4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。
例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。
能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
0，2，4，6，8，10，12，14，?就是全体偶数。 1，3，5，7，9，11，13，15，?就是全体奇数。
偶数和奇数有如下运算性质： 偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数， 偶数±奇数=奇数， 奇数±偶数=奇数， 偶数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。
例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？
分析与解：由于1，2，3，4，?，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：
(1，2)，(3，4)，?，(197，198)，
还剩一个199。共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199。所以
奇数的个数=198÷2+1=100(个)，
偶数的个数=198÷2=99(个)。
因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100。
如果按从大到小两两配对：
(199，198)，(197，196)，?，(3，2)，那么怎样解呢？
例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？
(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15。 解：根据奇偶数的运算性质：
(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数，所以(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30-147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中
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的30是偶数，所以，数42□必为奇数。于是，□里只能填奇数1，3，5，7，9。
(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数??推知 1×3×5×7×9×11×13×15 为奇数。因为14为偶数，所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即 1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。 由例2得出：
(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。
(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。
例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？ 解：根据奇偶数的运算性质知：
第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；
第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。
以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。 所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积 奇数×奇数×偶数=偶数。
故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。 2.能被5整除的数的特征
由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，?可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，?可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。
因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。
例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？
解：因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除。
例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？ 1×2×3×?×29×30。
解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子 5(其中25含有两个因子5)。所以，1×2×3×?×29×30的积中，末尾有七个0。 练习18
1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？
2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋4＋5； (2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7； (3)1＋2＋3＋?＋9＋10； (4)1＋3＋5＋?＋21＋23； (5)13-12＋11-10＋?＋3-2＋1。
3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？
4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？ 5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？ 20×21×22×?×49×50。
6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？ 答案与提示 练习18
1.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，
奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋20=110。
2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数； (4)偶数；(5)奇数。 3.6个。
提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有 564，654，594，954，456，546。 4.22。
解：13为奇数，它必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以这两个质数中的偶数是2，奇数是13-2＝11，乘积为2×11=22。 5.9个0。
6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。
第19讲 能被3整除的数的特征
上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。
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同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？
我们先具体观察一些能被3整除的整数： 18，345，4737，25674
18能被3整除，1+8=9也能被3整除； 345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除； 4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除； 25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。 怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。 因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是： 如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。
例1判断下列各数是否能被3整除： 2574，38974，587931。
解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；
因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；
因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。
为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如，
表示这个三位数的百、十、
个位依次是3，a，5；又如，表示这个四位数的
千、百、十、个位依次是a，b，c，d。
例2六位数
能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。 例3由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
解：在1，3，5，7这四个数中，任取三个，共有4组： 1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。由1，3，5可写成135，153，315，351，513，531六个三位数；同理，由3，5，7也能写成6个三位数。
所以，符合题意的三位数有6×2=12(个)。例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？
解：除1以外，被2除余1的所有整数是 3，5，7，9，11，?，27，29，31，33，? 被3除余1的所有整数是
4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，? 被5除余1的所有整数是 6，11，16，21，26，31，36，?
上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数。 例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方法是：
因为5大于2和3，所以先从被5除余1的数 1，6，11，16，21，26，31，36，?
中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31，就为所求。
到五年级学了更多的知识后，还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。
例5同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？ 解：能被5整除的三位数是
100，105，110，115，120，125，?其中，第一个能同时被2，3整除的数是120(它是偶数，且1+2+0=3)，故120为所求。 练习19
1.直接判断25874和978651能否被3整除。 3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？ (2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？ 5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？ 6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？ 7.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。最多能剪成多少段？ 答案与提示 练习19 1.不能；能。 2.a=0，3，6，9。 3.12个。 4.(1)7；(2)17。 5.30。 6.990。 7.60段。
提示：要使剪成尽量多的小段，2厘米长的应尽量多。因为三种规格都要有，125为奇数，剪去若干个2厘米长的小段后，剩下的长度仍是奇数，所以3厘米、5厘米长的至少要3段，125=114＋3＋3＋5=2×57＋3×2＋5×1，所以2厘米的剪57段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，此时剪成的小段最多，为 57＋2＋1=60(段)。
第20讲 乘、除法的运算律和性质
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我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。 1.乘法的运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即 a×b=b×a。
其中，a，b为任意数。 例如，35×120=120×35=4200。
乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。 注意：
(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有 a×b×c=b×(a×c)等。 例1计算下列各题：
(1)17×4×25； (2)125×19×8； (3)125×72； (4)25×125×16。
分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。 解：
(2)125×19×8 =(125×8)×19 =1000×19 =19000； (3)125×72 =125×(8×9) =(125×8)×9 =1000×9 =9000； (4)25×125×16或 =25×125×2×8 =(25×2)×(125×8) =50×1000 =50000， 25×125×16 =25×125×4×4 =(25×4)×(125×4) =100×500 =50000。
乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即
(a+b)×c=a×c+b×c， (a-b)×c=a×c-b×c。 例2计算下列各题：
(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25； (3)2004×25； (4)125×792。 解：
(1)125×(40+8) =125×40+125×8 =5000+1000 =6000； (2)(100-4)×25 =100×25-4×25 =2500-100 =2400； (3)2004×25 =(2000+4)×25 =2000×25+4×25 =50000+100 =50100； (4)125×792 =125×(800-8) =125×800-125×8 =(125×8)×100-1000 =1000×100-1000 =1000×(100-1) =99000。
2.除法的运算律和性质
商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0) =(a÷m)÷(b÷m)(m≠0) 例3计算：
(1)425÷25；(2)3640÷70。 解： (1)425÷25
=(425×4)÷(25×4) =1700÷100 =17； (2)3640÷70
=(3640÷10)÷(70÷10) =364÷7 =52。
(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即 (a±b)÷c=a÷c±b÷c。