小学奥数基础教程（三年级）
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数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，
(1+2+3+4+5)+重叠数 =每条直线上三数之和×2，
所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。
若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8。 填法见左下图；
若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9。 填法见下中图；
若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10。 填法见右下图。
由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。 例4 将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到
(1+2+?+7)+重叠数×2=10×3。 由此得出重叠数为
[10×3-(1+2+?+7)]÷2=1。
剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。
如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？
例5 将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
解：与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且重叠了
四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10+11+?+20)+15×4]÷5=45。
剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。
例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。
一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有 已知各数之和+重叠数×重叠次数
=直线上各数之和×直线条数。 由此得到：
(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。
如例1、例4。
(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从
重叠数的可能取值分析讨论，如例3。 练习16
1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？
2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。 如果中心数是5，那么又该如何填？
3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)
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4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条
直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
答案与提示 练习16
5.提示：中心数是重叠数，并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于
［(1＋2＋?＋11)＋重叠数×4］÷5
＝(66＋重叠数×4)÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。填法见右图。
6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其
它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为
(1＋2＋?＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。 因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以
这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12。
中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。
对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置，便得到本题的解(见右上图)。 第17讲 数阵图(二)
上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
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分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为 21×2-(1+2+?+8)=6。
在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。 如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有 2+6+7=15和3+4+8=15， 故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。
例2 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于
11×3-(1+2+?+6)=12。
1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。
如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，不合题意。
同理，三个重叠数也不能是3，4，5。
经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。
例3 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+?+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于
[(1+2+?+6)+重叠数之和]÷3 =(21+重叠数之和)÷3 =7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。
与例2的方法类似，可得下图的四种填法：
每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和
=11 每边三数之和=12
例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。
所以四个重叠数之和等于 18×4-(2+3+?+9)=28。
而在已知的八个数中，四数之和为28的只有： 4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：
“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
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与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以 已知各数之和+重叠数之和 =每边各数之和×边数。
由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。
例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有
(1+2+?+7)+a+a+b+c+d=13×3， 即 a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。 练习17
1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的
三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上
的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七
个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
答案与提示练习17
每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13
每个圆周的四数之和=14