小学奥数基础教程（三年级）

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例1一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？

解：总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。 这个小组有6个同学，平均成绩是 546÷6＝91(分)。 答：平均成绩是91分。

例2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？ 解：苹果和梨的总重量为 40＋80＝120(千克)。

因要装成6筐，所以，每筐平均应装 120÷6＝20(千克)。 答：每筐应装20千克。

例3小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？ 解：两批猪的总重量为

66×3＋42×5＝408(千克)。

两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重 408÷8＝51(千克)。 答：平均每头猪重51千克。

注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量： (66＋42)÷2＝54(千克)。

上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而不是(3＋5＝)8头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！

例4一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。

每周要完成的题目总数是4×7=28(道)。星期一至星期六已做题目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。

解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。 答：星期日要做6道题。

例5三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米。问：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的总数为 132×42＝5544(厘米)， 女生身高总数为 136×18＝2448(厘米)，

男生有42-18＝24(人)，身高总数为

5544-2448＝3096(厘米)， 男生平均身高为 3096÷24＝129(厘米)。 综合列式：

(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。 答：男生平均身高为129厘米。

例6小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？ 分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为 (92＋90＋4)÷2＝93(分)， 由此可求出英语成绩。 解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。 答：英语得了97分。 练习9

1.一班有40个学生，二班有42个学生，三班有45个学生。开学后又转学来了11个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？

2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道。平均每天做了多少道？

3.一小组同学体检量身高时发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？

4.小梅做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？

5.一农机站有960千克的柴油。用了6天，还剩240千克。照此用法，剩下的柴油还可用几天？

6.小浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月(30天)要读完共288页的彩图世界童话名著《伊索寓言》。头9天平均每天读了8页，第二个9天平均每天读了10页，第三个9天平均每天读了11页。最后三天平均每天需要读几页才能达到自己规定的要求？ 7.五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多少？

8.小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。小亮第二次游了多少米？ 9.篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？ 答案与提示 练习9

1.一、二、三班分别转入6，4，1人。

提示：每班应有(40＋42＋45＋11)÷3＝46(人)。 2.6道。解：(15＋9)÷4=6(道)。 3.129厘米。

解：(123×2＋132×4)÷6=129(厘米)。 4.97下。解：80×3－(67＋76)＝97(下)。

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5.2天。解：240÷［(960—240)÷6］＝2(天)。 6.9页。解：［288－(8＋10＋11)×9］÷3＝9(页)。 7.97分。解：(94×5－92×3)÷2＝97(分)。 8.41米。解：25＋8×2＝41(米)。 9.172厘米。

解：这名队员比平均身高矮的这8厘米，是由另四名队员给“补上”的，所以平均身高为182－8÷4＝180(厘米)，这名队员身高180－8＝172(厘米)。 第10讲 植树问题

绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。

先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 显然，只有下面四种情形： (1)非封闭线的两端都有“点”时， “点数”＝“段数”＋1。

(2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。

(3)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”-1。

(4)封闭线上，“点数”=“段数”。

最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。 例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。

又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。

再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。 再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。 许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。

例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？ 解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×(10-1)＝450(米)。 答：这段路长450米。

例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需 25×6＝150(秒)。

解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。 答：还需150秒。

例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？ 解：车队间隔共有 30-1＝29(个)，

每个间隔5米，所以，间隔的总长为 (30-1)×5＝145(米)，

而车身的总长为30×4＝120(米)，故这列车队的总长为

(30-1)×5+30×4＝265(米)。

由于车队要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要

(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。

答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。

例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？

解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为 6×(5-1)＝24(毫米)，

又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长 40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。

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同理，十个铁环连在一起的长度为 40×10-6×(10-1)=346(毫米)。

答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。

例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。

解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为 300÷2＝150(个)，

父亲踏过的台阶数为300÷3＝100(个)。 由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷6＝50(个)。所以父子俩共踏了台阶

150＋100-50＝200(个)。 答：父子俩共踏了200个台阶。 练习10

1.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。

(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？

(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？ (3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？ 2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？

3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？

4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？

5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？

6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？ 7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？ 答案与提示练习10

1.(1)21棵；(2)19棵；(3)20棵。 2.132棵。

解： (100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)， 264÷2＝132(棵)。 3.9次。 4.360米。

5.34米80厘米。

解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480厘米)。 6.200个；100个。

解：原有坑1200÷6＋1=201(个)， 现有坑1200÷4＋1=301(个)，

其中重复而不需要新挖的坑有1200÷12＋

1=101(个)，需要新挖的坑有301－101=200(个)，需要填上的坑有201-101=100(个)。 7.20辆。

解：车队长5×100-210=290(米)， 共有车(290-5)÷(5＋10)＋1=20(辆)。 第11讲 巧数图形

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

例1数出下图中共有多少条线段。

分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。

我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。

所以，共有3＋2＋1＝6(条)。

由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？

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分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。 图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。 图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 图(5)中有三角形

1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？

分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。

以AB为底边的三角形ABC中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。

以ED为底边的三角形CDE中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。

所以共有三角形6＋6=12(个)。

这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。

由1个小块组成的三角形有3个； 由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个； 由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。 所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。

(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算： 由1个小块组成的三角形有4个； 由2个小块组成的三角形有6个； 由3个小块组成的三角形有2个； 由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。 所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。 例4右图中有多少个三角形？

解：假设每一个最小三角

形的边长为1。按边的长度来分 类计算三角形的个数。

边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有 1＋3＋5＋7=16(个)；

边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；

边长为3的三角形有1＋2＝3(个)； 边长为4的三角形有1个。 所以，共有三角形 16＋7＋3＋1＝27(个)。 例5数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容

易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有

1+2+3+4+5=15(条)。 所以图中共有15个锐角。

例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？

解：按包含的小块分类计数。

包含1小块的有1个；包含2小块的有4个； 包含3小块的有4个；包含4小块的有7个； 包含5小块的有2个；包含6小块的有6个； 包含8小块的有4个；包含9小块的有3个； 包含10小块的有2个；包含12小块的有4个； 包含15小块的有2个。 所以共有

1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。 练习11

1.下列图形中各有多少条线段？