?D?于是得德拜温度为

??m??4?Nv??kBkB??S?m2P????

12而晶体的比热容为

cV??0??2e??/(kBT)S?kB()?d???/(kBT)22kBT(e?1)?vp??m/(kBT)

32kBTS???2v2p?0x3exdx(ex?1)2x? （其中

??kBT）

20.已知金刚石的弹性模量为1×1012N/m2，密度为3.5g/cm3。试计算金刚石的德拜温度?D。

解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波，其波速为

vp?

K1?10124??1.69?10?3.5?103m/s

n?而又金刚石的原子密度为

?N0MC3.5?1032329??6.02?10?1.756?1012?10?3 个/m3

由此可知金刚石的德拜温度为 ?2817K

21.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m，由于非线性相互作用，一个

10q?1.3?10沿[100]方向传播，波矢大小为m-1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方

向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。

解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢b1、b2和

b3互相

2?2?3.14??3.14?1010?102?10垂直，长度为am-1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连

线的垂直平分面围成的立方体。

又因为

由此可知q1?q2落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有

?q1??q2??q3??Gn （其中Gn表示一倒格矢）

10qG?3.14?10i，则有 为使3落在第一布里渊区里，取n其大小为

q3??0.92?1010i?0.92?1010j?1.3?1010m-1

29

u(r)??22.设某离子晶体离子间的相互作用势能为

e24??0r?Br2。式中B为待定常数；r为

近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离为3×10-10m。

解：由平衡条件

du(r)?0drr0，可得

e2r02B??0B?8??0 4??0r02r03 由此可得e2于是可求得

1d2u(r)e21d3u(r)e2C?()r0?g??()r0?2332!dr3!dr8??0r0， 4??0r04

那么线膨胀系数为

?5-1

?5.4?10 K

30

第四章 金属自由电子理论

1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？

解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？

解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？

解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为L，设T?0K。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：

dZdZdk?? …………………………（1） dEdkdE 考虑在k空间中，在半径为k和k?dk的两线段之间所含的状态数为：

2dkLdZ??dk …………………………（2）

?k??(E)??2k2 又由于 E?

2mdE?2k? 所以 …………………………（3） dkm 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该

一维金属晶体中自由电子的状态密度为：

31

?(E)?2Lm …………………………（4）

??2E （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为：

f(E)?1eE?EFKBT …………………………（5）

?1 于是，系统中的电子总数可表示为：

? N? ?f(E)?(E)dE …………………………（6）

000 由于T?0K，所以当E?EF，有f(E)?0，而当E?EF，有f(E)?1，故（6）

式可简化为：

2L＝???00F0EF0m4LmEFdE＝ 2E??2N2?2?2由此可得： E? …………………………（7） 28mL（3）在T?0K时，晶体电子的平均能量为： E0?0EF11＝Ef(E)?(E)dENN?03??E?02LmdE

??2EN2?2?2102L02?EF 2m(EF)＝ ＝233N??24mL7.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为

?222E(kx,ky)?(kx?ky)。

2m试求：

（1）能量E～E?dE之间的状态数； （2）此二维系统在绝对零度的费米能量； （3）电子的平均能量。

解：（1）K空间中，在半径为k和k?dk的两圆面之间所含的状态数为

L2L22?kdk?kdk ………………………… dZ?（1） 22?4?这也就是能量在E～E?dE之间的状态数，由电子的能量表达式可得 kdk?2mE2m1m（2） ?dE?dE ………………222??2E?32