2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M ?M …………………（3）

从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得

2???(?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa ……………（4）

q??令

?2a，则可求得声学支格波频率为

???2?2????M，m 光学支格波频率为

由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为 由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。 而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为 由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。

此时原子振动的图像如下图3.6所示：

图3.6 （a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图

16.从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和m?M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。 解：一维双原子晶格的色散关系为

由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图 图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线

由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即

q???2a处，声学

波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当m?M时，则声学波的频率和光学

2?q??2a处相等，都等于M。 波的频率在

??2?而在一维单原子链中，其色散关系为

O

中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，

4?qasin2M2，由此可见，在一维单原子链

q??在其布里渊区边界，即

?a处，其格波频率为

25

??2?M，是双原子链的格波在布里渊

边界的频率值的2倍。

17.设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为

式中

?(?)?9N3?m?2。

?m为格波的截止频率。

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

??vpq ……………………（1）

那么格波的状态密度为

?(?)?V12??4?q23V?d?(2?)??322?vpdq ………（2）

?m又根据 将（2）式代入（3）式得

??(?)d??3N0 ……………………（3）

?m

V?2?3d??3N2?2?vp03p ……………………（4）

3V?mv?18?2N ……………………（5）由（4）式可得

?(?)?把（5）式代入（2）式即可得

9N?3m?2

1??218.设晶体中每个振子的零点振动能是，试用德拜模型求一维、二维和三维晶体的总零

点振动能。设原子总数为N，一维晶格长度为L，二维晶格的面积为S，三维晶格的体积为V。

解：(1)一维晶体的总零点振动能为：

设?(?)d?表示角频率在????d?之间的格波数，而且

??m0?(?)d??N ………………………………………(1)

上式中：

?m是最大的角频率；N为晶体中的原子数。则上述的总零点能可以写成：

???m01???(?)d?2 ………………………………………(2)

26

考虑到一维晶体中，其状态密度为：

?(?)?dZdZdq??d?dqd? ………………………………………(3)

由于德拜模型考虑的是长声学波的影响，而长声学波可以看成连续媒质弹性波。对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则有：

dZL?dq? ………………………………………(4) 故

d??vP对于弹性波，??vPq，则 dq……………(5)

?(?)?将(4)和(5)式代入(2)式，得：

L?vP………(6)

将(6)式代入(1)式，可得：

?m??NvPL

将(6)式代入(2)式，可得一维晶体的总零点振动能：

(2)对于二维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法相似，只是对于(1)式要改为：

??m0?(?)d??2N ………………………………………(7)

?(?)?而对于二维晶体，其状态密度函数为：

12S?2?vP……………(8)

将(8)式代入(7)式可得：

?m????4?Nv?S2P????

将(8)式代入(2)式可得二维晶体的总零点振动能为：

(3) 对于三维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法也基本相似，只是对于(1)式要改为：

??m0?(?)d??3N ………………………………………(9)

3V?2?(?)?232?vP………(10) 而对于三维晶体，其状态密度函数为：

将(10)式代入(9)式可得：

?m????6N?v????V?

23P13将(10)式代入(2)式可得三维晶体的总零点振动能为：

19.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。

27

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

??vpq ……………………（1）

?(?)? （1）在一维情况下，晶格振动的状态密度为上式中，L表示一维晶格的总长度。

?mL1L??2?2?d??vpdq（2）

又由关系式

?m??(?)d??N0 ……………………（3）

将式（3）代入式（2）可得

Ld??N??vp0，由此求得

?m??NvpL

??m??Nvp?D??kkBL B于是德拜温度

晶体的比热容为

2kBTL???vp??m/(kBT)

?0x2ex??dxx?(ex?1)2 （其中kBT）

（2）在二维情况下，晶体振动的格波有2支，即一支纵波和一支横波，在德拜模型中，假设纵波和横波的波速相等，都等于

vp，即纵波和横波都有如下的色散关系

?1(?)?先考率纵波，其状态密度为

S(2?)2?1S??2?q?d?2?v2pdq

?2(?)?类似地可以写出横波的状态密度为

S?2?v2p

?(?)??1(?)??2(?)?加起来总的状态密度为

?mS??v2p …………………（4）

又由关系式

?m??(?)d??2N0 ……………………（5）

将（4）式代入（5）式得

S?d??2N2??vp0，由此可得

?m????4?Nv?S2P????

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