固体物理习题详解 下载本文

为求格波解,令

qai[(2n)??t]?2?x2n?Ae?qai[(2n?1)??t]2?x?2n?1?Be ……………(3)

将(3)式代入(2)式,可导出线性方程组为

?1?11?12(??)A?(10eiqa/2?e?iqa/2)B?0?mm??11?1??1(eiqa/2?10e?iqa/2)A?(??2)B?0m ?m ……………(4)

?1令m2??0,从A,B有非零解的系数行列式等于零的条件可得

2224iqa/2?iqa/2iqa/2?iqa/2(11???)??(10e?e)(e?10e)?0 ……00 (5)

22???(11?20cosqa?101) 0由(5)式可解出

??当q?0时,cosqa?1,?q?当

22?0,???0

?a时,cosqa??1,???20?0,???2?0

其色散关系曲线如下图3.4所示:

图3.4 原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线

12.如有一维布喇菲格子,第2n个原子与第2n?1个原子之间的力常数为?;而第2n个原子与第2n?1个原子的力常数为?'。 (1) 写出这个格子振动的动力学方程; (2) 说明这种情况也有声学波和光学波; (3) 求q?0时,声学波和光学波的频率;

q??(4) 求

?2a(a为晶格常数)时,声学波和光学波的频率。

解:(1)此题与(11)题基本相似,在最近邻近似和简谐近似下,同样可以写出第2n和第2n?1个原子的动力学方程为

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?d2x2nm??(x2n?1?x2n)??'(x2n?x2n?1)??dt2?2d?mx2n?1??'(x2n?2?x2n?1)??(x2n?1?x2n)2?dt? ……………(1)

(2)为求出方程组(1)的格波解,可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?i[(2n?1)qa??t]x?Be2n?1? ……………(2)

于是将(2)式代入(1)式,可导出线性方程组为

?iqa?'?iqa????'2(??)A?(e?e)B?0?mmm??'????'??(eiqa?e?iqa)A?(??2)B?0mm ?m ……………(3)

???'令得

2224422(???)?(????2??2cos2qa)?0 ……………0121 (4)

m2??0?,m??12?',m2??2从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可

由(4)式可解出

42?2??02??14??2?2?12?2cos2qa ……………(5)

由此可知,?的取值也有??和??之分,即存在声学波和光学波 (3)由(5)式可知

当q?0时,cos2qa?1,有 声学波频率

2????02?(?12??2),光学波频率

2????02?(?12??2)

(4)同样由(5)式可知

q??当

?2a时,cos2qa??1,有

22????0??12??2声学波频率,光学波频率

22????0??12??2

13.在一维双原子链中,如M/m??1,

(1)求证:

?1?2?sinqa?2?M; 2?m(1?cos2qa)2mM。

1q(2)画出?与的关系图(设M/m?10)。

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解:(1)在一维双原子链中,其第2n个原子与第2n?1个原子的运动方程为

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?2?Mdx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)2?dt? …………………(1)

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?i[(2n?1)qa??t]x?Be2n?1?为解方程组(1)可令 ………………(2) 2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M将(2)式代入(1)式可得出?M………(3)

从A、B有非零解,方程组(3)的系数行列式等于零的条件出发,可得

?2?(可解出得

?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa ……………(4)

当(4)式中取“-”号时,有

?12?

?(M?m)?mM1?4Mm22sinqa)??1?(1?2(M?m)?? ……………(5)

∵M/m??1,∴(5)式中有

?(M?m)Mm4Mm4Mm24m22sinqa?sinqa?sinqa??1??22M(M?m)MMmm,

?M?那么(5)式可简化为

?1?2?sinqaM

12当(4)式中取“+”号时,有

2?2??(M?m)Mm??(M?m)?Mm

?4Mm21?cosqa??2(M?m)?? ……………

(6)∵M/m??1,∴(6)式中有

?(M?m)Mm??MMm??m,

?(M?m)Mm??MMm??m

那么(6)式可简化为

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?2?2?m(1?cos2qa)2mM

2111?121?22?22????sinqa2210m100m5m (2)当M/m?10时,则(4)式可化为

此时,?与q的关系图,即色散关系图如下图3.5所示:

图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线

?24m?5?1.67?10g,M/m?4,??1.5N/m。求: 14.在一维复式格子中,如果

(1) 光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值;

(2) 相应的声子能量是多少eV?

(3) 这3种声子在300K时各有多少个?

(4) 如果用电磁波激发光频振动,要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段?

解:(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为:

mMm5?1.67?10?24?????6.68?10?24gm?Mm/M?11/4?1上式中为约化质量

所以有:

而声学波频率的最大值的计算公式为: 所以有:

(2)相应的声子能量为:

(3)由于声子属于玻色子,服从玻色—爱因斯坦统计,则有

(4)如用电磁波来激发光频振动,则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式:

q??15.在一维双原子晶格振动的情况下,证明在布里渊区边界

?2a处,声学支格波中所有

轻原子m静止,而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图像。

解:设第2n个原子为轻原子,其质量为m,第2n?1个原子为重原子,其质量为M,则它们的运动方程为

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?2d?Mx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)2?dt? …………………(1)

为解方程组(1)可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?i[(2n?1)qa??t]x?Be2n?1? …………………(2)

将(2)式代入(1)式可得出

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