各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？

解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。

7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。

解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。

准经典运动的基本公式有：

晶体电子的准动量为 p??k；

1?kE(k)； ??dk晶体电子受到的外力为 F?

dt晶体电子的速度为 v?11?2E(k)晶体电子的倒有效质量张量为 *?2；

?k?km?????在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：

8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？

解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。

当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，

*完全如同存在一个带正电荷q和具有正质量m、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个

假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。 9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。

解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。

在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。

10.说明德·哈斯－范·阿尔芬效应的基本原理及主要应用。

解：在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场变化而呈现出振荡的现象，称为德·哈斯－范·阿尔芬效应。

由于德·哈斯－范·阿尔芬效应同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构密切相关，所以德·哈斯－范·阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工具。

11.一维周期场中电子的波函数

?k(x)应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a，电子的波函

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数为

（1）?k(x)?sin?a3?x； （2）?k(x)?icosa（3）?k(x)?。 ?f(x?ia)（其中f为某个确定的函数）

?x；

i???试求电子在这些状态的波矢。

解：布洛赫函数可写成?k(x)?eikxuk(x)，其中，uk(x?a)?uk(x)或写成

?k(x?a)?eika?k(x)

（1）?k(x?a)?sinx?ax???sin????k(x) aaika故 e??1 k??a

显然有 uk(x?a)?uk(x)

?。

aa3(x?a)3x???icos????k(x) （2）?k(x?a)?icosaa?ika所以 e??1 k?

a故?k(x)?sin?x的波矢是

显然有 uk(x?a)?uk(x) 故?k(x)?icos3??x的波矢。 aa（3）?k(x?a)?故 e故?k(x)??i???ika?f(x?a?ia)??f[x?(i?1)a]??f(x?ma)??i???m??????k(x)

?1 k?0

i????f(x?ia)的波矢为0。

要说明的是，上述所确定的波矢k并不是唯一的，这些k值加上任一倒格矢都是所需的

解。因为k空间中相差任一倒格矢的两个k值所描述的状态是一样的。 12.已知电子在周期场中的势能为 其中：a?4b，?为常数。

（1）画出势能曲线，并求出其平均值；

（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。

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解：（1）该周期场的势能曲线如下所示： U O 其势能平均值为： （2）根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为 其中U1和U2表示周期场U(x)的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。 于是有 故此晶体的第1及第2个禁带宽度为 13.已知一维晶体的电子能带可写成： ?271E(k)?(?coska?cos2ka)8ma28。

式中a是晶格常数。试求

（1）能带的宽度；

（2）电子在波矢k的状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（1）在能带底k?0处，电子能量为

在能带顶k??a处，电子能量为

2?2故能带宽度为?E?E()?E(0)?

ama2?（2）电子在波矢k的状态时的速度为

（3）电子的有效质量为

于是有在能带底部电子的有效质量为m1?2m 在能带顶部电子的有效质量为m2??**14.平面正六角形晶格（见图5.30），六角形2个对边的间距是a，其基矢为

2m 3

a1?a3i?aj22；

试求：

（1）倒格子基矢；

（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区； （3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？

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图5.30

解：（1）由题意可取a3?k，那么根据倒格子基矢的定义有 （2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图5.2所示

图5.2 平面正六边形晶格的布里渊区示意图

（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为

15.证明正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大1倍。对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？

解：设正方格子的晶胞参数为a，则其相应的倒格子也为一正方格子，并且其倒格子基矢大小为

2?，由此可知位于该正方格子第一布里渊区角隅处的自由电子的波矢大小为ak1??2?，而位于该区侧面中点处的电子的波矢大小为k2?。

aa?2k2又由自由电子动能与其波矢的关系式Ek?可知，正方格子第一布里渊区角隅处

2m?2?2的自由电子的动能大小为Ek1?，而位于该区侧面中点处的电子的动能大小为2maEk2?2?2?，显然有Ek1?2Ek2。 22ma由此证得正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大1倍。

对三维简单立方晶格，由相同的方法可以同样证得其相应的倍数为3。 16.设kF表示自由电子的费米波矢，

km表示空间中从原点到第一布里渊区边界的最小距离，

求具有体心立方和面心立方结构的一价金属的比值

kF/km。

解：对于体心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为 而km?2?331/3) ，故kF/km?(a2?对于面心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为 而km?3?431/3)。 ，故kF/km?(a3??1017.一矩形晶格，原胞边长a?2?10m，b?4?10?10m。

（1）画出倒格子图；

（2）画出第一布里渊区和第二布里渊区； （3）画出自由电子的费米面。

解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为a1?ai，a2?bj，由此可求得其倒格子基矢

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