x2﹣x﹣6=0， （x﹣3）（x+2）=0， x1=3，x2=﹣2， ∴AC=3

；

，

②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，设BD=x，则AC=

x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

+（x+2）2=

x2+x﹣6=0，

（x+3）（x﹣2）=0， x1=﹣3，x2=2， ∴AC=2

；

或2

．

综上所述，AC的长为3

23．（11.00分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行

线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=

AB=

×4=2

，

，解得

，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2

，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°， ∴PD=

PQ=

×2

=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或

或

；

，m2=

，

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣）， 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣

+b=﹣，解得b=﹣

，

，

∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

解方程组得

，则M1（

，﹣）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5）， ∵3=∴x=

，

，

∴M2（

，﹣），

，﹣

）或（

，﹣）．

综上所述，点M的坐标为（