【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间?47,86?分为?47,60?和?60,86?两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间?47,86?内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]

的概率为【详解】

2?2?，且X?B?3,?，由此可得X的分布列和数学期望． 5?5?（Ⅰ）因为物理原始成绩??N60,13，

所以P(47???86)?P(47???60)?P(60???86)

?2?11P(60?13???60?13)?P(60?2?13???60?2?13) 220.6820.954??

22??0.818．

所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000?0.818?1636（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，且X?B?3,2． 52??， 5???27?3? ， 所以P?X?0??????5?1255412?3?， P?X?1??C3?????5?5?125?2?336，

P?X?2??C??????5?5125232238?2? P?X?3?????．

5125??所以X的分布列为

3X P 0 1 2 3 27 12554 12536 12526?． 558 125所以数学期望E?X??3?【点睛】

（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．

（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．

23．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且AB?300米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设

?AOP?2?．

（1）用?表示线段PQ,并确定sin2?的范围；

（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．

【答案】（1）PQ＝300sin??【解析】 【分析】

2502，（2）506米. ?sin2??1；cos?3(1) 过点Q作QH?AB于点H,再在VAOP中利用正弦定理求解AP,再根据

AQ＝QH???求解sin?????2?AQ,进而求得PQ.再根据PQ?0确定sin2?的范围即可.

(2)根据(1)有PQ?502?32sin??值即可. 【详解】 解：?1?

??1cos?1?f??32sin??,,求导分析函数的单调性与最再设???cos??

过点Q作QH?AB于点H, 则QH＝502, ＝OP＝150,?AOP＝2?, 在VAOP中,QOA??OAP＝??, 2OPAP?由正弦定理得：???sin2?,

sin?????2???AP＝300sin?,

?AQ＝QH502????cos?, sin?????2?502, cos??PQ=AP?AQ=300sin??QPQ＝300sin??502?0,因为cos??0, cos?化简得

2?sin2??1 3?2?QPQ＝300sin??50令f1???502?32sin???, cos?cos???2????32sin??12,?sin2??1,且2??(0,?), cos?3?? ?f'????32cos??sin?tan???cos?32??cos2?cos2???sin2??cos2??tan???? ?cos??32???cos2???2??cos?32?tan3??tan? ?cos??32?tan??1tan???????因为??(0,?2),故cos??0

令f'(?)＝0,

即tan3??tan??32?0,

?(tan??2)(tan2??2tan??3)?0,

记tan?0＝2,?0??0,?????, 2?当0＜?＜?0时,f'????0,f当?0＜?＜???单调递增；

?2时,f'???<0,f???单调递减,

又Qsin2?0?232, ?33?当tan?＝2时,f(?)取最大值,

63PQ?502?32sin??1,此时sin?＝,cos?＝?cos??33???506 ??PQ的最大值为506米．

【点睛】

本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.