山西省长治市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题含解析 下载本文

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题. 18.已知函数f?x?x??2?ax?a?ex,其中a?R.

(1)当a?0时,求f?x?在1,f?1?的切线方程; (2)求证:f?x?的极大值恒大于0. 【答案】(1)y?【解析】 【分析】

(1)求导,代入a?0,求出在x?1处的导数值及函数值,由此即可求得切线方程; (2)分类讨论得出极大值即可判断. 【详解】

??1x(2)证明见解析 e?x2??a?2?x?2a??x?a??x?2?(1)f'?x??, ?xxee当a?0时,f'?1??11,f?1??, ee1x; e则f?x?在1,f?1?的切线方程为y???(2)证明:令f'?x??0,解得x?2或x??a,

①当a??2时,f'?x??0恒成立,此时函数f?x?在R上单调递减, ∴函数f?x?无极值;

②当a??2时,令f'?x??0,解得?a?x?2,令f'?x??0,解得x??a或x?2, ∴函数f?x?在??a,2?上单调递增,在???,?a?,?2,???上单调递减, ∴f?x?极大值?f?2??a?4?0; e2③当a??2时,令f'?x??0,解得2?x??a,令f'?x??0,解得x?2或x??a,

∴函数f?x?在?2,?a?上单调递增,在???,2?,??a,???上单调递减, ∴f?x?极大值?f??a???a?0, ae综上,函数f?x?的极大值恒大于0. 【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究函数的极值,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.

19.在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosB?2a?b, (Ⅰ)求?C的大小;

uuuv1uuuv(Ⅱ)若CA?CB?2,求?ABC面积的最大值.

2【答案】(1)C?【解析】 【分析】 【详解】

分析:(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式,结合特殊角的三角函数值,求得角C;

(2)运用向量的平方就是向量模的平方,以及向量数量积的定义,结合基本不等式,求得ab的最大值,再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值. 详解:(1)∵2ccosB?2a?b,

?3(2)23 ?2sinCcosB?2sinA?sinB,?2sinCcosB?2sin?B?C??sinB,

1??2sinBcosC?sinB,?cosC?,?C?

23uuuv1uuuvuuuv (Ⅱ)取BC中点D,则CA?CB?2?DA,在?ADC中,AD2?AC2?CD2?2AC?CDcosC,

22uuuv1uuuvuuuvaab??2(注:也可将CA?CB?2?DA两边平方)即4?b????,

22?2?a2b2abab,所以ab?8,当且仅当a?4,b?2时取等号. ?2??422此时S?ABC?13absinC?ab,其最大值为23. 24点睛:该题考查的是有关三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理,诱导公式,和角公式,向量的平方即为向量模的平方,基本不等式,三角形的面积公式,在解题的过程中,需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.

20.若a?0,b?0,且

11??ab ab(1)求a3?b3的最小值;

(2)是否存在a,b,使得2a?3b?6?并说明理由. 【答案】(1)42;(2)不存在. 【解析】 【分析】 (1)由已知

11??ab,利用基本不等式的和积转化可求ab?2,利用基本不等式可将a3?b3转化为ab(2)由基本不等式可求2a?3b的最小值为43,而ab,由不等式的传递性,可求a3?b3的最小值;

43?6,故不存在.

【详解】 (1)由ab?112??,得ab?2,且当a?b?abab2时取等号.

故a3?b3?2a3b3?42,且当a?b?所以a3?b3的最小值为42;

2时取等号.

(2)由(1)知,2a?3b?26ab?43.

由于43?6,从而不存在a,b,使得2a?3b?6成立. 【考点定位】 基本不等式.

Sn为?an?的前n项和,21.已知?an?为各项均为整数的等差数列,若a3为

(1)求数列?an?的通项公式; (2)若Tn?1S7?49. a2和a13的等比中项,

322222018???...?. ,求最大的正整数n,使得Tn?a1a2a2a3a3?a4anan?12019【答案】(1)an?2n?1(2)1008 【解析】 【分析】

(1)用基本量求出首项a1和公差d,可得通项公式;

(2)用裂项相消法求得和Tn,然后解不等式Tn?【详解】

2018可得. 201912?21?a?a?aa?2d???a1?d??a1?12d??3??1213 解:(1)由题得?,即?33???7a1?21d?49?S7?49?a?0?a1?1?1解得?或?7

d?2d???3??a1?1a因为数列?n?为各项均为整数,所以?,即an?2n?1

?d?2(2)令bn?所以Tn?1?2211??? anan?1?2n?1??2n?1?2n?12n?1111111112n2018???????1??? 335572n?12n?12n?12n?1201912018?即1?,解得n?1009 2n?12019所以n的最大值为1008

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式,考查裂项相消法求数列的和.在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法.

22.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B?、B、C?、C、D?、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、

[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共

2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).

(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;

(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望. (附:若随机变量?~N?,??2?,则P(?????????)?0.682,P(??2??????2?)?0.954,

P(??3??????3?)?0.997)