【点睛】

本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____． 【答案】【解析】 【分析】

e 2111et?t?1?et计算R（t?，0），PR＝t﹣（t?）?，△PRS的面积为S?，导数S′?，由S′＝0得t2ttt2t2t＝1，根据函数的单调性得到最值. 【详解】

∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，et），

又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝tet， 设R（r，0），则k?2212e?0?tet，∴r＝t?，

tt?r1t1tt2即R（t?，0），PR＝t﹣（t?）?，

1tet又S（1，f（1））即S（1，e），∴△PRS的面积为S?，

2tt

导数S′?et?t?1?2t2，由S′＝0得t＝1，

当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS的面积的最小值为故答案为：

e． 2e． 2【点睛】

本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

?x?y?3?0?14．若函数y?log2x的图像上存在点(x,y)，满足约束条件?2x?y?2?0，则实数m的最大值为

?y?m?__________． 【答案】1 【解析】

?x?y?3?0,?由题知x>0，且满足约束条件?2x?y?2?0,的图象为

?y?m,?

由图可知当y?log2x与y?3?x交于点B(2,1)，当直线y?m过B点时，m取得最大值为1.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.

15．直线y?ex?2b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线(e?2.71828???为自然对数的底数)，则实数

b?__________.

【答案】?1 【解析】 【分析】

根据切线的斜率为e，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得b的值. 【详解】

y??1?11?1???e，则x?，所以切点为?,?1?，故切线为y?1?e?x??，

e?ex??e?即y?ex?2，故b??1. 故答案为：?1 【点睛】

本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.

16．已知_________. 【答案】【解析】 试题分析：当

为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是

时，，则，所以

．又因为，则

为偶函数，所以，所以切线方程为

，即

．

【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当如下结论：若函数数的解析式为

为偶函数，则当

．

时，函数

，则当

时，求函数的解析式”．有；若

为奇函数，则函

时，函数的解析式为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.

（1）求证：AC//平面DQF；

（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】

（1）连接CE交DF于点M，连接QM，通过证明QM//AC，证得AC//平面PQF.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线BC的方向向量和平面DQF的法向量，计算出线面角的正弦值. 【详解】

（1）证明：连接CE交DF于点M，连接QM，因为四边形CDEF为正方形，所以点M为CE的中点，

25 5又因为Q为AE的中点，所以QM//AC；

QQM?平面DQF,AC?平面DQF，

?AC//平面DQF.

（2）解：QAB?2BC，设BC?1，则AB?2，在VABC中，?ABC?60?，由余弦定理得：

AC2?22?12?2?2?1?cos60??3，

?AC2?BC2?AB2,?AC?BC．

又QAC?FB,CB?BF?B，?AC?平面FBC．?AC?FC．

QCD?FC,?FC?平面ABCD．

如图建立的空间直角坐标系D?xyz． 在等腰梯形ABCD中，可得CD?CB?1．

?A(3133311,?,0),E(0,0,1),B(,,0),C(0,1,0),F(0,1,1)则Q(,?,)． 2222442uuuruuurr31311uuu那么BC?(?,?,0),DQ?(,?,),DF?(0,1,1)

22442r设平面DQF的法向量为n?(x,y,z)，

v?3vuuu11r?n?DQ?0x?y?z?0?v则有?vuuu，即?4，取y?1，得n?(3,1,?1)． 42n?DF?0??y?z?0?uuurruuurr|CB?n|25rr?设BC与平面DQF所成的角为?，则|sin??|cos?CB,n?|?uuu．

5|CB|?|n|所以BC与平面DQF所成角的正弦值为25． 5