故存在点P1坐标为（-3，-9）和P2（9，-9）满足题意．…………10分 25．（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y
轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存
在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c??3.
即抛物线的解析式为y?ax?bx?3． ………………………1分
22把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得?解得a?1,b??2.
?a?b?3?0,
9a?3b?3?0.?∴ 抛物线的解析式为y = x－2x－3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对a?1,b??2，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分
理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.
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在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC?18. …………………………6分 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD?2. …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD?20. …………………………8分 ∴ BC?CD?BD， 故△BCD为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ………10分
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过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为P1(0,)． …………………………………………11分 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， 求得符合条件的点为P2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0,)，P2（9，0）.
26．（2010福建南平）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）□APCD是否为矩形？请说明理由； （3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.
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D C D C E A E F P 图1
B
M A N P 图2 B
【答案】(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中 ∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP ∴ ∠ACB=∠APE 在ΔABC中，AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴ ∠EPA=∠EAP
(2)答：□ APCD是矩形
∵四边形APCD是平行四边形 ∴ AC=2EA, PD=2EP
∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP ∴ EA=EP 则 AC=PD
∴□APCD是矩形 (3)答： EM=EN
1
∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°－ 2α
11∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α
22由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴ FP=FB
∴∠FPB=∠ABC=α
11
∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α
22
∴ ∠EAM=∠EPN
∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ∴ ∠AEP=∠MEN
∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP
∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN 27．（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y
轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存
在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c??3.
即抛物线的解析式为y?ax?bx?3． ………………………1分
22把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得?解得a?1,b??2.
?a?b?3?0,
?9a?3b?3?0.∴ 抛物线的解析式为y = x－2x－3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对a?1,b??2，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.
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在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC?18. …………………………6分 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD?2. …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD?20. …………………………8分
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