（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．

过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，

1

∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，

2 ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．

又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．

∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．

∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)． 把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，

4?k??，??k?b?7，?3得? 解得? ?4k?b?3．?b?25．?3?425

∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．

33

若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物42515

线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M

3366

42515

∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，

3366－3±209解得m＝ 2

－3＋209－3－209

∴ 点Q的横坐标为或．

22

18．（2010江苏无锡）

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长

线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC． ∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程）

第22题图

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AEDNANBMCPB

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平

分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你作出猜想：当

∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°， ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

图1 图2

MCP

??AEM??MCN,?在△AEM和△MCN中：∵?AE?MC,∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

??EAM=?CMN,?

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE=MC，连接ME ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （3）

(n?2)180?n

19．（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

第18题图

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【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF. 20．（2010山东临沂）如图1，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB?2AD. (1)判断?ABC的形状，并说明理由； (2)保持图1中的?ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2 中的?ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.

DCEMBDCENCENA图1A图2BBAM图3D（第25题图）

【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。 如图（1）在矩形ABED中，

因为点C是边DE的中点，且AB=2AD, 所以AD=DC=CE=EB, ∠D=∠E=90°.

∴Rt△ADC≌Rt△BEC. ∴AC=BC, ∠1=∠2=45°. ∴∠ACB=90°.

∴△ABC是等腰直角三角形。 （2）DE=AD+BE. 如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中， ∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°. ∴∠CAD=∠2.

又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB. ∴DC=BE,CE=AD. ∴DC+CE= BE+AD, 即DE=AD+BE. （3）DE=BE-AD. 如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2.

又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE. ∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.

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NCD1C2ECMD1E2N12EADM(第25题图3)

BA(第25题图1)BA(第25题图2)B

21．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.

A D

N E M B C

【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.

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F

B C

E N M A D