(2) 如果抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
5351，b??，c??时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说452明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线
上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
① 当a?y C -1 -1 A 1 O B 1 x
【答案】解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ OB?设点B的横坐标是x(x>0)，则x2?(解得 x1?62)?(3)2， 21AB?3． 2
66，x2??(舍去)． 226． 2∴ 点B的横坐标是(2) ① 当a?(3)
y?
535521351，b??，c??时，得 y? x?x?454252552135． (x?)?4520以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为OC?OB?tan30??3?y A -1 1 O -1 C 1 B x 5， 53?1． 3
(甲)
525，)， 55由此，可求得点C的坐标为(点A的坐标为(?21515，)， 55∵ A，B两点关于原点对称，
第 21 页 共 45 页
∴ 点B的坐标为(21515，?)． 5515，即等于点A的纵坐标； 5将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得?15，即等于点B的纵坐标． 5∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(y 1 -1 B O 1 -1 C x A 525，-)，
55 2151521515点A的坐标为(，)，点B的坐标为(?，?)．
5555经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m的值是1或-1． (y?a(x?m)2?am2?c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
16．（2010江苏泰州）如图，二次函数y??(乙)
9?12?x?c的图象经过点D??3,?，与x轴
2?2?交于A、B两点．
⑴求c的值； ⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式； ⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
第 22 页 共 45 页
【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(?3,∴?9) 219?(?3)2?c? 22∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为y??12x?6 2∴A（?23,0）、B（23,0）
∵M是BD的中点 ∴M（
39,） 24设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
?33??23k?b?0k????10 ??3解得?9?k?b??b?94?2?5??直线AC的解析式为y?339x?. 105⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，
第 23 页 共 45 页
AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP． 17．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴1
的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．
6
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
(第22题图1) (第22题图2)
1
【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，
6
5?c?0，?b??,??得?25解得?6
?5b?c?0.???6?c?0.15
∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．
66
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E． ∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10) ∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，
∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．
11
∵ SRt△OAB＝AE·OB＝OA·AB，
22
∴ AE＝25， ∴ AC＝45．
∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴
CDADAC
＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB
15
当x＝－3时，y＝×9－×(－3)＝4．
66
15
∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．
66
第 24 页 共 45 页