2010年中考数学真题分类压轴汇编之开放探究型问题 - 图文 下载本文

3-m),Q(1-m,3+m),所以

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129(1-m-1)+=3+m,解得m1=1,m2=-3(不合题意,舍去) 22此时P(0,2)

30.(2010年福建省泉州))我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形.你

可以利用这一结论解决问题.

如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y?象限的点B、D,已知点A(?m,0)、C(m,0).

(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是 ; (2)①当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p、α、和m有值;

②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必

说理)

(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.

3的图象分别交于第一、三x

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【答案】解:(1)平行四边形 …………(3分)

(2)①∵点B(p,1)在y?3的图象上,∴x1?3 p∴p?3………………………………(4分)

过B作BE?x轴于E,则OE?在Rt?BOE中,tan??α=30° ∴OB?2

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点, ∴点B、D关于原点O成中心对称 ∴OB=OD=2

3,BE?1

BE13 ??OE33……………………………………………………………(5分)

………………………………………(6分)

∵四边形ABCD为矩形,且A(?m,0) C(m,0)

∴OA?OB?OC?OD?2………………………………………………………(7分) ∴m?2;

……………………………………………………………(8分)

②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个; ………………………………(9分) (3)四边形ABCD不能是菱形.

……………………………………………(10分)

法一:∵点A、C的坐标分别为(?m,0)、(m,0) ∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上.

又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC与BD不可能垂直. ∴四边形ABCD不能是菱形

法二:若四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC与BD互相平分, 因为点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0)

所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上. ……………………………………(11分)

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所以BD应在y轴上,这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,

所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………(12分) 31.(2010年福建省泉州)如图所示,已知抛物线y?12x?x?k的图象与y轴相交于点4B(0,1),点C(m,n)在该抛物线图象上,且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A.

(1)求k的值; (2)求点C的坐标;

(3)若点P的纵坐标为t,且点P在该抛物线的对称轴l上运动,试探索: ①当S1?S?S2时,求t的取值范围(其中:S为△PAB的面积,S1为△OAB的面积,S2为四边形OACB的面积);

②当t取何值时,点P在⊙M上.(写出t的值即可)

【答案】解:(1)∵点B(0,1)在y?12x?x?k的图象上,∴41?12?0?0?k………………(2分) 4∴k=1………………(3分) (2)由(1)知抛物线为:

y?121x?x?1即y?(x?2)2 44∴顶点A为(2,0) …………(4分) ∴OA=2,OB=1

过C(m,n)作CD⊥x轴于D,则CD=n,OD=m,∴AD=m-2 由已知得∠BAC=90° …………………(5分)

∴∠CAD+∠BAO=90°,又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD ∴Rt△OAB∽Rt△DCA

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ADCDm?2n(?,即?OBOA12OACD2n)…(6分) ?,即?OBAD1m?2∴

∴n=2(m-2); 又点C(m,n)在y?∴2(m?2)?或tan∠OBA= tan∠CAD

11(x?2)2上,∴n?(m?2)2 441(m?2)2,即8(m?2)(m?10)?0 4∴m=2或m=10;当m=2时,n=0, 当m=10时,n=16;…………………(7分) ∴符合条件的点C的坐标为(2,0)或(10,16)…(8分) (3)①依题意得,点C(2,0)不符合条件,∴点C为(10,16) 此时S1?1OA?OB?1 2S2?SBODC?S?ACD?21……………………………… (9分)

又点P在函数y??∴S?1,AP= (x?2)2图象的对称轴x=2上,∴P(2,t)t

41……………………………(10分) OA?AP?AP= t

2∵S1?S?S2

∴当t≥0时,S=t,∴1﹤t﹤21. ………………(11分) ∴当t﹤0时,S=-t,∴-21﹤t﹤-1

∴t的取值范围是:1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 …………(12分)

②t=0,1,17. ……………………………………(14分) 32.(2010湖南娄底)如图11,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=2,DC=10,AD=BC=5,点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN//AB,ME?DC,NF?DC,垂足分别为E、F

(1) 求梯形ABCD的面积

(2) 探究一:四边形MNFE的面积有无最大值?若有,请求出这个最大值;若无,请

说明理由;

探究二:四边形MNFE能否为正方形?若能,请求出正方形的面积;若不能,请说明理由.

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【答案】解:做AG⊥DC,BH⊥DC.(1)因为AB//DC,所以四边形AGHB是矩形,所以GH=AB=2,AG=BH.又因为AD=BC=5,所以Rt△ADG≌Rt△BCH,所以DG=CF.所以DG=(DC-GH)÷2=4.在Rt△ADG中,AG=AD2?DG2=3.所以梯形ABCD的面积是

(AB?CD)?AG=18.

2DC?EF10?x=.因为ME⊥DC,NF⊥DC,所以

2210?xMEDEMEME//AG, ∠MED=∠AGD=90°,所以△DEM∽△DGA,所以=,所以=2,

AGDG343(10?x)所以ME=,所以四边形MEFN的面积是

83(10?x)32303752S=MN·ME=x·=?x?=?(x?5)?.所以当x=5时,四边形MEFN的面

8888875MEDE积的最大值是.(3)四边形MEFN能为正方形,且边长为x,则由(2)知道,=,

8AGDG10?xx303029002所以=2,所以x=.此时四边形的面积是x?()?.

311111214(2) 设MN=x,则EF=MN=x,所以DE=

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