2010年中考数学真题分类压轴汇编之开放探究型问题 - 图文 下载本文

一、填空题

1.(2010江苏盐城)写出图象经过点(1,-1)的一个函数关系式 ▲ . 1

【答案】y=-x或y=- 或y=x2-2x,答案不唯一

x二、解答题

1.(2010安徽蚌埠二中)已知⊙O过点D(3,4),点H与点D关于x轴对称,过H作⊙

O的切线交x轴于点A。

⑴ 求sin?HAO的值;

⑵ 如图,设⊙O与x轴正半轴交点为P,点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合),连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C,直线BC交x轴于点G,若?DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin?CGO的大小怎样变化,请说明理由。 【答案】 ⑴

y D A O H C O F E P B y D G x sin?HAO?HO3?AO5 (2)试探索sin?CGO的大小怎样变化,请说明理由.

解:当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合),sin?CGO的值不变 过点D作DM?EF于M,并延长DM交?O于N,连接ON, 交BC于T。

因为?DEF为等腰三角形, DM?EF, 所以DN平分?BDC

所以弧BN=弧CN,所以OT?BC, 所以?CGO??MNO 所以sin?CGO=sin?MNO?OM3? ON5即当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合),sin?CGO的值不变。

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2.(2010安徽蚌埠)如图1、2是两个相似比为1:2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4。

求证:AE2?BF2?EF2;

⑵ 若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2?BF2?EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。

C C 图1 D A 图2 B A C D 图3 B C F E A D 图4 B A E 图5 D F B ⑶ 如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足?CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、

MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,

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请说明理由。

?A N D 【答案】⑴ 在图4中,由于AD?BD,将?AED绕点D旋转180,得?BE?D, M AE?BE?、ED?E?D。连接E?F

??FBE???ABC??ABE???ABC??CAB?90

?F B E C ?在Rt?BE?F中有E?B2?BF2?E?F2

又?FD垂直平分EE? ?EF?FE?

?代换得AE2?BF2?EF2

在图5中,由AC?BC,将?AEC绕点C旋转90,得?BE?C

? AE?BE?,CE?CE? 连接E?F

??FBE???ABC??CBE???ABC??CAB?90? ?在Rt?BE?F中有E?B2?BF2?E?F2

又可证?CEF≌?CE?F,得EF?FE?V

?代换得AE2?BF2?EF2

(3)将?ADF绕点A瞬时针旋转90,得?ABG,且FD?GB,AF?AG 因为?CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半,所以

D N F M G B E C ?CE?EF?CF?CD?CB?CF?FD?CE?BE,

化简得EF?EG从而可得?AEG≌?AEF, 推出?EAF??EAG?45

此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知:

?A MN?BM?DN,再由勾股定理的逆定理知:

线段BM、MN、DN可构成直角三角形。

2223.(2010安徽省中中考)如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k?1),且△ABC

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的三边长分别为a、b、c(a?b?c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1,求证:a?kc;

⑵若c?a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数,并加以说明;

⑶若b?a1,c?b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2?请说明理由。

【答案】

4.(2010江苏盐城)(本题满分12分)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象..上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;

(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛

物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.

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