对蠕虫与橡皮绳悖论的评论

【摘要】蠕虫与橡皮绳的是一个有趣的问题，但是从网上看到一些文章，对此问题的讨论都是建立在橡皮绳的长度是跳越性改变的前提下的。本文从运动的连续性入手，用新的方法更加详细的分析了此问题。并对连续性增长的橡皮绳和跳越性增长的做出了比较。

【关键词】蠕虫与橡皮绳、悖论、调和级数、微分方程、运动的连续性 【正文】

原文：

问个问题先：有一天，我们看到一条蠕虫，它在正在一根橡皮绳的一端。橡皮绳长一公里（好长啊）。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行。在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里（虫：欺负我啊！）。再过一秒钟后，它又拉长为3公里，如此下去。蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？

不要贸然回答啊，想想看。（答案在下面）

答案是：会。

根据直觉你会说：蠕虫绝不能爬到终点。可是，它爬到了。试试看，你是否能算出蠕虫要爬多远？

理解这个问题的关键是橡皮绳的伸长是均匀的。这意味着蠕虫随着拉伸也向前挪了。 1公里有100,000厘米，所以在第一秒末，蠕虫爬行了橡皮绳长度的1/100000。在第二秒钟内，蠕虫又在长度为2公里的橡皮绳上爬了它的1/200000，在第三秒内，它又爬了3公里长的皮筋的1/300000，如此继续，蠕虫的进程表示为整条橡皮绳的分数就是：1/100000*(1+1/2+1/3+1/4+...)

现在的问题是，这个数可能达到甚至超过1吗？咳……这是可能的。1+1/2+1/3+1/4+...

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就是传说中的调和级数，事实上，它不收敛，它的部分和我们要它有多大，就可以有多大。只要这个和超过100,000，上面的表达式就超过1。这就是说，蠕虫已经到达终点。此时调和级数该部分和的项数n就是蠕虫爬行的秒数。也是皮筋最后长度的公里数。在1350年左右，N. Oresme（约1323～1382）证明了调和级数发散。当时，他本人用了一种非常难懂的方法，很多大学课本里也有一些很严密的算法，但是，我现在来介绍一个简单又好懂的高中生的方法：放缩。

把1+1/2+1/3+1/4+...每次将1/(2^(n-1)+1)到1/(2^n)的项合并，原式可化为： 1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+...+1/16)+... > 1+1/2+(1/4)*2+(1/8)*4+(1/16)*8+... = 1+1/2+1/2+1/2+1/2...

由于1+1/2+1/2+1/2+1/2...显然趋近于无穷大，所以1+1/2+1/3+1/4+...趋近于无穷大。 其实呢，直观上我们可以这样理解，当1/n中的n很大时，n的点点增加相对于1/n的减少几乎是没有作用的（你去看看f(x)=1/x的图像，到最后那条线几乎和x轴平行了），所以这时S的增加可以看成是匀速的，趋近于等差增加。

函数1/x 图像的一部分

我们知道，一个数列的前n项和S(n)当n趋近于无穷大时，如果我们知道S(n)趋近于一个常数，那么我们可以判断Lim[a(n),n->∞]=0，但是，反过来却并不成立，也就是说：当n逐渐增大时，一个数列的通项a(n)趋近于0，并不代表它的前n项和S(n)在n逐渐增大时

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趋近于一个常数。虽然这很难想象，但上面的调和级数却给了我们一个很好的例子。

对于我们一开始讨论的蠕虫问题，我们可以得到一个完美的解答：会到终点的，但是很慢，有多慢呢，大约是e^100000秒（也就是2.8*10^4335年），吓死你。

精确的公式及其推导方法，参见《美国数学月刊》1971年第78卷十月号，第864—870页，博斯和伦奇的文章“调和级数的部分和”（我怎么知道的？在网上看到的）。结果证明，橡皮绳其长无比，比已知的宇宙直径（156亿光年）还长得多，同时蠕虫要爬到终点的时间也无比漫长，它比已知的宇宙年龄（1.40*10^10年左右）还要远久得多（得多得多得多……）。自然，这个问题说的是一条理想的蠕虫，它可以表示为在一条理想的橡皮绳上的一个点。若是条真的蠕虫，那末在还没有怎么开始这段旅程就早已死了，同时，若也是真的橡皮绳则需把它拉得细到它只能由分隔的分子连成这样难以想象的程度。

不管这个问题的参数，即橡皮绳的长度，蠕虫爬行的速度、以及这根橡皮绳每单位时间拉长多少，蠕虫总是能在有限的时间内到达终点。真正的问题是在改变橡皮绳拉长的方式时产生的。例如，如果橡皮绳按几何级数拉长，譬如每秒钟拉长一倍，会出现什么情况？这时，蠕虫就再也不能达到终点了。具体证明可以自己试试。

评论：

首先我们用不同于上面的一种方法解决这个问题。

设蠕虫爬行的速度为v1，橡皮绳原长为L0，长度的增加速度为v2。现在我们使蠕虫橡皮绳的一端O固定（如图所示），另一端A可伸长，则橡皮绳A端伸长的速度应为v2。

O B A

xL0设当前蠕虫位于B点，BO段的长度为x，则B点相对于O点的速度为

v2。

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蠕虫相对于O点的速度为v1?xL0v2。

可见，蠕虫相对于O点并不是匀速运动的。在?t内，蠕虫向A端移动的距离为

即：

分离变量有：

两边积分有：

当t?0时，x?0，有：所以有：

?x???x??v1?Lv2???t ?0?dx???v?v2?1?Lx??dt ?0?dxv?dt

2Lx?v10?dxv?2?dt?C

Lx?v10d??vL?2x?v?0?L1??0?v??dt?C

2v?2Lx?v10L0?v2?vln??x?v?L1???t?C 20?L0vlnv1?C

2L0vln??v?2x?v??L0?L1??t?lnv1 20?v2L0?v2?vln??x?v1???L0lnv1?t 2?L0?v24