[课时作业] [A组 基础巩固]

1．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝( ) A．0 B．3x2 C．8

D．12

解析：f′(x)＝3x2，∴f′(2)＝12. 答案：D

2．已知函数y＝xn在x＝2处的导数等于12，则n的值为( ) A．2 B．4 C．3

D．5 解析：y′＝nxn－1，

∵y′|x＝2＝12，∴n·2n－1＝12，∴n＝3. 答案：C

3．曲线y＝1

2x2在点??1，12??处切线的倾斜角为( ) A．－π

4

B．1 C.π4

D.5π4 解析：∵y′＝x，∴y′|x＝1＝1，

∴曲线y＝1

2x2在点??1，12??处切线的斜率为1. 故倾斜角为π

4.

答案：C

4．直线y＝1

2x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )

A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1

D．ln 2 解析：因为y＝ln x的导数y′＝111

x，所以令x＝2得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．

代入直线y＝1

2x＋b得b＝ln 2－1.

答案：C

5．曲线f(x)＝x3＋x－2在P1

0处的切线垂直于直线y＝－4

x－1，则P0点的坐标为()

A．(1,0)

C．(1,0)或(－1，－4)

B．(2,8)

D．(2,8)或(－1，－4)

解析：设切点为P0(a，b)，f′(x)＝3x2＋1，k＝f′(a)＝3a2＋1＝4，a＝±1，把a＝－1代入到f(x)＝x3＋x－2得b＝－4；把a＝1代入到f(x)＝x3＋x－2得b＝0，所以P0(1,0)和(－1，－4)．

答案：C

3

6．若函数f(x)＝x，则f′(8)＝________. 解析：因为f(x)＝x＝x， 1?3所以f′(x)＝x，

3

?11

所以f′(8)＝×83＝. 312

223131

答案：

12

π?1

7．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′??3?＝2，则a＝________，b＝________. 解析：f′(x)＝2ax－bcos x，由条件知

???－bcos 0＝1?b＝－1?2π. π1，∴?

???a＝0?3a－bcos3＝2

答案：0 －1

π?π1

－x在点A?－，?处的切线方程是________． 8．曲线y＝sin??2??32?

π?π1π

－x＝cos x，点A?－，?是曲线y＝sin?－x?上的点，y′|?＝－解析：y＝sin??2??32??2?x=?3ππ3133

－?＝，所求的切线方程为y－＝?x＋?，即3x－2y＋π＋1＝0. sin??3?222?3?3

答案：3x－2y＋

3

π＋1＝0 3

9．求下列函数的导数． (1)y＝lg 2； (2)y＝2x； x2

(3)y＝；

x

x

(4)y＝2cos2－1.

2

解析：(1)y′＝(lg 2)′＝0； (2)y′＝(2x)′＝2xln 2；

2-x2

(3)∵y＝＝x2＝x2，

x

133

∴y′＝(x)′＝x2；

2x

(4)∵y＝2cos2－1＝cos x，

2∴y′＝(cos x)′＝－sin x.

310．求曲线y＝x2在点(8,4)处的切线方程． 解析：因为y＝x＝x， 2?所以y′＝(x)′＝x3，

3

?21

所以，切线斜率为k＝×83＝，

33

123132132231

切线方程为y－4＝(x－8)，

3即x－3y＋4＝0.

[B组 能力提升]

1．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )

π3π

A．[0，]∪[，π)

44π3π

C．[，]

44

B．[0，π]

ππ3π

D．[0，]∪[，]

424

解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的倾斜角为α. ∵y′＝cos x，∴tan α＝y′|x＝x0＝cos x0. ∵－1≤cos x0≤1，∴－1≤tan α≤1. π3π

又0≤α＜π，∴α∈[0，]∪[，π)．

44答案：A

2．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为( ) A．1 52C.

8

72B. 8D.3

解析：依题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．由导数的几何意义可知在P点的切线1

的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1.得x0＝－. 2

11|－＋＋2|241172

－，－?，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝故P点的坐标为?＝. 4??282答案：B

3．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，

＋

则a1＋a2＋…＋a99的值为________．

解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程n

为y－1＝(n＋1)·(x－1)，令y＝0，得xn＝，

n＋1

∴an＝lg

. n＋1n

1299

∴a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg 2310012991

××…×?＝lg＝－2. ＝lg?100??23100答案：－2

4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 016(x)等于________．

解析：f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′ (x)＝(－cos x)′＝sin x，

∴4为最小正周期，∴f2 016(x)＝f0(x)＝sin x. 答案：sin x 5．若曲线y＝x的值．

?12在点(a，a

?12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a