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(1) 为使取出的鞋无一对成双，只须先从n双鞋中取出2m双，然后从每双鞋中任取一只；总共有

mM?22mC2n种不同取法，因此

2m22mCn． P(A)?mC22n(2) 为使取出的鞋中只有一对成双，只须先从n双鞋中任取一双，然后从其余n?1双鞋中任取2(m?1)双，

2(m?1)再从这2(m?1)双中各任取一只；总共有M?22?m?1?C1种不同取法，因此 nCn?1m?1)n22(m?1)C2(n?1． P(B)?mC22n(3) 为使取出的鞋中恰好有两双，只须先从n双鞋中任取两双，然后从其余n－2双鞋中任取2(m－2)双，

2(m?2)再从这2(m?1)双中各任取一只；总共有M?22(m?2)C2种不同取法，因此 nCn?22(m?2)22(m?2)C2nCn?2． P(C)?mC22n1.33 将一枚完全对称和均匀的硬币接连掷n次．引进事件：A?{正面最多出现一次}，B?{正面和反面各至少出现一次}．就n?2,3,4的情形讨论事件A和B的独立性．

解 以Xn表示“将硬币掷n次正面出现的次数”．易见，事件{Xn?k}表示“正面恰好出现k次（反面恰好出现n?k次）”，因此

P｛Xn?k｝?Cn其次，有

k1． 2nA?｛Xn?0｝?{Xn?1}，B?{Xn?1，n?Xn?1}， B?｛Xn?0｝?{Xn?n}；1nn?1P(A)?P{Xn?0}?P{Xn?1}?n?n?n，

2221P(B)?1?P{Xn?0}?P{Xn?n}?1?n?1．2当n?2时，由于AB?{Xn?1}，可见

P(AB)?P{Xn?1}?事件A和B独立，当且仅当

n． n2P(AB)?nn?1?1??1????P(A)P(B)． 2n2n?2n?1?由此可见，事件A和B独立，当且仅当

n?1?2n?1．

由于上式当n?3时成立，故当n?3时事件A和B独立，但是上式当n?2和4时不成立，从而当n?2或4时事件A和B不独立．

1.34 甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜，已知其命中率分别为p1 和 p2．假设甲首先开始射击，

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(1) 求甲和乙获胜的概率?和?；

(2) 求射击无休止地进行下去而不分胜负的概率?．

解 设A?{甲射击命中}，B?{乙射击命中}，则比赛结果可以表示为：

A，AB，ABA ，ABAB，ABABA，ABABAB，ABABABA ?

设A0={甲胜}，B0={乙胜}，C={比赛无休止}，q1?1?p1，q2?1?p2，则

??P(A0)?P(A)?(ABA)?P (ABABA) ?P(ABABABA)?…?p1?q1q2p1?q1q2q1q2p1?q1q2q1q2q1q2p1?…?p1p1?p1?(q1q2)k??．1?qq1?(1?p)(1?p)k?01212??P(B0)?P(AB)?P(ABAB)?P (ABABAB) ?P(ABABABAB)?…

3?q1p2?q12q2p2?q13q22p2?q14q2p2?…?qp(1?p1)p2?q1p2?(q1q2)k?12?．1?qq1?(1?p)(1?p)k?01212p1qp??P(C)?1?P(A0)?P(B0)?1??121?q1q21?q1q21?q1q2?p1?q1p2q1?q1???0．1?q1q21?q1q2

三、证明题

1.35 证明事件A，AB和A?B构成完全事件组． 证明 首先，易见三个事件A,AB和A?B两两不相容：

A(AB)?(A?A)B??B??；AA?B?A(AB)?(AA)B??B??；其次，三个事件A,AB和A?B之和是必然事件：

(AB)(A?B)?(AB)(A B)?(AB)(BA)?A(B?B)A??．A?AB?A?B?A?AB?A B ?A?A(B? B)?A?A??．于是，A，AB和A?B构成完全事件组．

1.36 设A和B任意二事件，证明下列各关系式等价：A?B,A?B,AB??，A?B?B． 证明 设A?B, 即若A出现，则B也随之出现；从而，若B不出现，则A也不出现，因此A?B． 由A?B可见AB?B, 从而AB?AAB??． 设AB??，则由A?AB?AB和B?AB?AB，可见A?B?AB?AB?AB?B．

最后，若A?B?B，则由A?A?B?B，得A?B．于是，事件A和B的四个关系式等价得证．

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1.37 设A,B是任意二事件，证明，若P(B|A)?P(B)，则P(A|B)?P(A)． 证明 设P(B|A)?P(B)．由条件概率的定义，知

P(AB) ?P(B|A)?P(B)，P(AB)?P(A)P(B)．P(A)由此可见

P(A|B)?P(AB) ?P(A)．P(B)1.38 设事件B1,B2,…,Bn两两不相容，且事件A与各事件B1,B2,…,Bn都独立，证明A与它们的和也独立．

证明 由于B1,B2,…,Bn两两不相容，且事件A与各事件B1,B2,…,Bn都独立，可见

n?n??n?nP?A?Bk??P??ABk???P(ABk)??P(A)P(Bk)k?1?k?1??k?1?k?1 nn???P(A)?P(Bk)?P(A)P??Bk?．k?1?k?1?于是，A与?Bk独立．

k?1n习题二 随机变量及其概率分布

（A）

一、随机变量及其分布函数

2.1将随机变量X表示为随机试验E的基本事件的函数． (1) 设E——接连对同一目标射击命中为止，X——射击的次数． (2) 设E——将一枚硬币接连掷3次，X——正面出现的次数．

(3) 设E——自集合{0,1,2,3}的先后两次非还原抽样，X——奇数出现的次数． 解 (1) ??{1,2,…,n,…}，X(k)?k?k?1,2,…,n,…?． (2)

?={000,001,010,011,100,101,110,111}，其中0——正面, 1——反面；

X(000)?0；X(001)?X(010)?X(100)?1；X(011)?X(101)?X(110)?2；X(111)?3．

(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),(3) ??， X(0,2? 3)X(2,?0；)X0 ?(1,X3)?；((2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)?? X(0,1)?X(1,0)?X(0,3)?X(3,0)?X(1,2)?X(2,1)?X(2,3)?X(3,2)?1．2.2 将随机变量X表示为随机试验E的基本事件的函数．

(1) 设E——接连对同一目标射击直到恰好两次命中目标为止，X——射击的次数． (2) 设E——接连进行3次射击，X——命中目标的次数．

解 (1) X?X(k)?k,(k???{k?1,2,?,n,?})．

(2) 000 001 010 011 100 101 110 111 ?

0 1 1 2 1 2 2 3 X?X(?)

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2.3 已知随机变量X的分布函数为

? 0 ，若x??1，? F(x)??a?barcsinx，若?1?x?1，?? 1 ，若x?1?．(1) 当a,b取何值时，F(x)为连续函数； (2) 当F(x)连续时，求P{|X|?12}．

解 (1) 由于分布函数F(x)是连续函数，可见F(?1)?0，F(1)?1；因此，将?1和1代入F(x)，得常数a和b的方程组

0?F(?1)?a?解得a?12,b?1π．因此

?2b， 1?F(1)?a??2 b，? 0 ，若x??1，??11 F(x)???arcsinx，若?1?x?1，?2π?? 1 ，若x?1?．(2) 由于分布函数F(x)是连续函数，可见

1?1?1?1???1??P?|X|???P???X???P?X???P?X???2?2?2?2???2??

11111?1111??arcsin??arcsin?2?arcsin?．2π22π2π232.4 求常数a的值和事件{?0.5?X?0.5}的概率，已知随机变量的分布函数

? 0 ，若x??1，?a ，若?1?x?0，??2 F(x)??1?x?，若0?x?1，?3?? 1 ，若x?1．且F(0.9)?16．

解 由分布函数的基本性质，可见

a11?F(?0.9)?，a?，263? 0 ，若x??1，?1?? 3 ，若?1?x?0，F(x)??．

1?x?，若0?x?1，?3?? 1 ，若x?1．111P{?0.5?X?0.5}?F(0.5)?F(?0.5)???．2362.5 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(??,0]，(0,1]和(1,?)的概率分别等于0.2，0.5和0.3，并