?SBGX概率统计(理工类)? 习题1解答 事件的概率 第 1 页 共 69 页

习题1 随机事件及其概率

习题解答

（A）

一、事件的关系和运算

?10?6},B?{?10?6},C?{?10?7}，1.1 以?10表示10次射击命中的次数，考虑事件A?{D?{5??10?8}，说明如下事件的含义：A,A?B,A?C,A?D,A?B,A?C,A?D,AC,BC, AD,BD.

解 A?{?10?6}A,?B??,A?C?A,A?D??{10?5},A?B?A,A?C?{?610? ?10}, A?D?{?10?8},AC?C,BC??,AD?{6??10?8},BD?{5??10?6}．1.2 说明事件A,B,C,D的含义：

(1) 自0，1，?，9等十个阿拉伯数字中随机选八个(允许重复)，组成一个八位电话号码(第一位数不为0)．引进事件：Bi?{号码中不含数字i}，Bi?{号码中含数字i}(i=0，1，?，9)，

A?B0B9,B?B0?B9,C?B0?B9,D?B0?B9．

(2) 靶子由半径为r1?r2?…?r10的同心圆构成，以Ai表示事件“命中半径为ri的圆”(i?1，2,?，10)，

A?A3 B??A； C??A； D??A． ?A；4iiii?1i?3i?16610解 (1) A?{不含0,9}；B?{不含0或9}；C={含9不含0}；D= {含0或9}．

(2) A?{半径为r3和r4的圆环}；B?{半径为r6的圆}；C?{半径为r6的圆}；D?{半径为r1的圆}． 1.3 设电路MN中装有a和b两个继电器．以A和B分别表 示a和b为通路，以A和B分别表示a和b断路．利用电路MN 的“通”和“断”两种状态，导出关于事件A和B的对偶律：

M a b 题1.3 插图 N A?B?AB，AB?A?B．

解 引进事件C?{MN为通路}，则C={MN为断路}．显然，

C?A?B，C?AB，

因此C?A?B?AB．在A?B?AB分别将A换成A，将B换成B，得A?B?AB，于是AB?A?B．

1.4 对任意二事件A和B，证明：

(1) (A?B)(A?B)(A?B)(A?B)??； (2)AB?AB?AB?AB??． 解 (1) 由事件运算的分配律，可见

(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?[A(A?B)?B(A?B)][A(A?B)?B(A?B)]

?[A?AB?AB?BB][A?AB?AB?BB]?[A?A(B?B)][A?A(B?B)]?AA??．(2) 由事件运算的分配律，可见

AB?AB?AB?AB?(A?A)B?(A?A)B?B?B??．．

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1.5 设A,B和C是任意三事件，讨论下列命题是否正确：

(1) 若A?C?B?C，则A?B； (2) 若A?C?B?C，则A?B； (3) 若AC?BC，则A?B； (4) 若AB? A B? ?，则A?B． 解 易见，(1),(2),(3)都不正确，只有(4)正确．事实上，由事件运算的对偶律，可见

AB?A?B????．

而由A?B??且AB??，可见A和B互为对立事件，即A?B，因此(4)确实正确．

(2) 不难说明(1),(2),(3)都不成立．为此只需分别举出反例：例如，由于A,B,C是三任意事件，取A?B而

C??是必然事件，则A?C?B?C且A?C?B?C，但A?B，从而(1)和(2)不成立．设A?B，C??，

则AC?BC但A?B，从而(3)不成立．

注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．

二、概率的直接计算

1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p．

解 以?表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则

p?P{??1}?1?P{??0}4C96 ?1?4?1?0.8472?0.1528．C1001.7 从0,1,2,…,10等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：A1={三个数最大的是5}；A2={三个数大于、等于和小于5的各一个}；A3={三个数两个大于5，一个小于7}．

33?165种不同取法，解 从11个数中随机取出三个，总共有C11即总共有C11个基本事件，其中有利于A122的取法有C5； ?10种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有C5?10种不同取法）

有利于A2的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；

2有利于A3的取法有5×C5在大于5的5个数中随意取两个)．于?70种(在小于5的5个数中随意取一个，

是，最后得

P(A1)?210??，P(A)?25?0.15??，P(A)?50?0.30??． ?0.06111651651651.8 考虑一元二次方程 x?Bx?C?0, 其中B, C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率?， (2) 求方程有两个不同实根的概率?．

解 显然，系数B和C各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式??B2?4C．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{??0}和{??0}．下表给出了事件{??0}和{??0}所含基本事件的个数． B 1 2 3 4 5 6 {??0}含基本事件数 0 0 2 3 6 6

? 17

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由对称性知{??0}和{??0}等价，因此???．易见，方程无实根的概率?和有两个不同实根的概率?为

????17． ?0.47．361.9 随机将分别印有1,2,3,4四张卡片排成一行．求事件A的概率：A?{至少一张卡片排列的顺序号与其数字相同}．

解 设Ak={印有k的卡片列的顺序号恰好是k}(k?1,2,3,4)，则A?A1?A2?A3?A4．那么，

P(A)?P(A1?A2?A3?A4)．

由一般加法公式，可见

P(A1?A2?A3?A4)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4) ??P(A1A2)?P(A1A3)?P(A1A4)?P(A2A3)?P(A2A4)?P(A3A4)?显然(例1.7)

??P(A1A2A3)?P(A1A2A4)?P(A1A3A4)?P(A2A3A4)??P(A1A2A3A4)．1P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4)?．

4四张卡片排成一行，总共有4!种不同情形．四张卡片中任何两张(例如第一张和第二张)的顺序号恰好所印数字一致，总共有1×1×2×1＝2 种不同情形(第一张和第二张各有一种选择，第三张剩下两种选择，第四张最后只剩下一种选择)．因此

P(AiAj)?21?(1?i?j?4)． 4!12若四张中任何三张(例如，第一、第二和第三张)都分别印有1，2，3，则第四张自然印有4．因此

P(AiAjAk)?11?(1?i?j?k?4)；4?3?224

11P?A1A2A3A4???．4!24于是，有

4641155P(A)?P(A1?A2?A3?A4)??????．

41224242481.10 从0,1,…,9中，随意取4个数字(允许重复)排成一列，结果恰好形成一个四位数．求下列事件的概率：A1={4个数字两两不等}；A2={此数是奇数}；A3={6至少出现一次}；A4 ={6恰好出现一次}．

解 考虑自总体??{0,1,…,9}的n?4次放回抽样．基本事件的总数N?9?103?9000：第一位数字（不为0）有9种选择，其余三位数字共有103种选择．分别以Nk(k?1,2,…,n)表示Ak所含基本事件的个数．

(1) N1?9?9?8?7?4536；

(2) N2?9?102?5?4500：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择； (3) N3?9?103?8?93?3168，即基本事件的总数N减去A3的对立事件A3＝｛6不出现｝所含基本事件的个数；

(4) N4?93?3?8?92?2673：只有第一位数是6的共有93种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情形各有8?92种；

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于是，所求概率为

N1N?0.504； P(A2)?2?0.500；NN

NNP(A3)?3?0.352； P(A4)?4?0.297．NNP(A1)?三、概率的基本公式和运算法则

1.11 假设箱中黑、白、红球各有3，4，5个，12个球除颜色外完全相同．现在一个一个地从箱中取出所有的球，求取到红球比黑球早的概率?．

解 引进事件：A?{取到红球比黑球早}．以B，W和R分别表示“黑球”，“白球”和 “红球”； 以(WWR)表示事件{前两次抽到黑球，第三次抽到白球}??依此类推．易见，

A?(R)?(WR)?(WWR)?(WWWR)， 其中右侧的4个事件显然两两不相容，其概率相应为：

P(R)?513?513?2?51?，P(WR)??，P(WWR)??，10210?9610?9?86

3?2?1?511P(WWWR)???．10?9?8?724?7168P(A)?11115?????0.7143． 26241687于是，由概率的可加性，红球比黑球早的概率为

说明 我们是按古典型求的概率P(WR)，P(WWR)，P(WWWR)，显然可以用乘法公式来求． 1.12 对于随机变量X和Y，求P{min[X,Y]?0}，已知概率

341P{X?0}?, P{Y?0}?，P{X?0,Y?0}?．

555解 引进事件A?{X?0}，B?{Y?0}，则{X?0,Y?0}?AB．由条件知

211P(A)?，P(B)?，P(AB)?，555

341P(A)?，P(B)?，P(AB)?P{X?0,Y?0}?．555由对立事件的概率的公式和加法公式，可见

P{min[X,Y]?0}?P(A?B) ?P(A)?P(B)?P(A?B)

2112 ????．55551.13 假设电话号码为八位数(第一位数不为0)，求事件A1?{电话号码中不含0或9}和A2?{电话号码中含0不含9}的概率．

解 引进事件：B0={电话号码中不含0}，B9={电话号码中不含9}， A1?B0?B9?{电话号码中不含0或9}，A2?B9?B0?B9?B0B9．易见

988?9788． P(B0)?， P(B9)?， P(B0B9)?．7779?109?109?10