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y2x2如图21-1，已知F1,F2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的上、下焦点，A为左顶点，过F1,A的

ab直线与椭圆的另一个交点为B，?BAF2?90，|F2B|?（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图21-2，已知直线l:y?kx?m与椭圆交于E,F两点，且线段EF的中点在直线y?1上，求|EF|的最大值．

52， 3yF1BEyF1FAOF2图：21-1xOF2图：21-2x

21（原创已在相关考试中使用）．【解析】（本题主要考查椭圆的定义、性质，直线与椭圆的位置关系，以及综合运用函数等知识解决问题的能力）

（Ⅰ）因?BAF2?90，所以?OF2A为等腰直角三角形，则a?又|F2A|?a，|F2B|?2b?2c， （2分）

5252，由定义|AB|?3a?， 33所以(522522)?(3a?)?a2，解得a?2， 33y2?x2?1 （6分） 所以椭圆方程为2（Ⅱ）将直线方程y?kx?m代入椭圆方程2x?y?2?0 得到：

22(2?k2)x2?2kmx?m2?2?0

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设E(x1,y1),F(x2,y2)，则x1?x2?则y1?y2?k(x1?x2)?2m??2km22，??8(k?2?m) （8分） 22?k4m22m?2?k，得到 ?222?k228(k?2?m)?， |EF|?1?k2?1?k22|a|k?22?k22(1?k2)(2?k2)因m?，所以|EF|?， （12分） 22k?2令t?2?k2，则|EF|?则由基本不等式知|EF|?

42?(t?)?5，由??0知k2?2，所以2?t?4，

t2（当t?2,k?0取到） （15分）

yF1BEyF1FAOF2图：21-1xOF2图：21-2x

22（原创已在相关考试中使用）．（本题满分15分）．

21?an?1a?a(a?0),a?已知数列{an}满足1，数列{an}的前n项和为Sn． n?1an*（Ⅰ）若an??对n?N恒成立，求?的取值范围；

（Ⅱ）求证：Sn?2a(n?N*) （Ⅲ）求证：Sn?2a1(1?n)(n?N*)． a?1222．【解析】（本题主要考查数列的基本知识，函数的思想方法，以及分析问题、综合运用知识解决

问题的能力）

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2221?an?11?an?1?an?an?（Ⅰ） 因为an?1?an?，

anan而

22221?an?1?an?1?an（?1?a）n0 ?，

21?an?1*又an?1?，所以an?1，an同号，因a1?a?0，所以对任意的n?N，an?0

an 所以数列{an}为递减数列，则an?a，

则an??对n?N*恒成立，??a （4分）

（Ⅱ） 因a?0，所以a1?a2n?1anan1nn?1?a?n1?a2n?1?2，则aa?(?1n?2)，则

1 S1a(1?011n?a[()?(12n)22)??(12)n?]??2a(1?1)?2a， （9分）1?12n

2（Ⅲ） 由（1）an?0

所以aanann?1?1?a2n?1?1?a2?ana2 （11分）n?2an?1n?所以

1a?1?2，则1?1?2[1?1]， n?1anan?1an所以

1?1?(1?1)?2n?1a， na11则a1n?1n?1a1n?n?221(1?1???()

a)?2n?1?1(1?1a)?11a?122n?1(1?a)a1Sa11(1?11n?2n)0?1[(2)?(2)??(2)n?1]?a?1a?2a(1?1) 1?1a?12n2

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15分