答案
第一部分
1. A 2. B 3. A 6. C 7. B 8. A 11. A 12. D 第二部分 13. 3 14. 8 15. (2,+∞)
2
16. ??△??????=??△?????????△??????
√54. D
9. B 5. D 10. C
第三部分
17. （1） 由 ?????∥????，得 3sin??=?cos??，则 tan??=?．
31
所以 3sin???2cos??=3tan???2=
sin??+cos??tan??+1
1
?+1313?(?)?23
=?9．
2
（2） 由 ??+??=π???，得 sin(??+??)=sin??． 再由正弦定理，得 √3sin??=2sin???sin??， 由 sin??≠0，得 sin??=
√3，则 ??2
π3
=．
??(??)=(sin??+cos??,2)?(sin??,?1)
=sin2??+sin??cos???2
1?cos2??1=+sin2???2
22π3√2=sin(2???)?.
242πππ3√2??(??+)=sin[2(??+)?]?
82842
3√2=sin2???.22由 △?????? 为锐角三角形及 ??+??=
π3
2π
，得 6
ππ
即 <2??<π，所以 0 23 √2sin2??2 π ?≤ 2 3 √22 ?． 232 3 因此，??(??+)∈(?, 82 3√22 ?]． 18. （1） 设三个“非低碳小区”分别为 ?? 、 ?? 、 ??，两个“低碳小区”分别为 ?? 、 ??． 用 (??,??) 表示选定的两个小区，则 ??,??∈{??,??,??,??,??}． 从 5 个小区中任选两个小区，所有可能的结果有 10 个，它们分别是：(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)． 用 ?? 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则 ?? 中的结果有 6 个，它们分别是：(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)，(??,??)． 第5页（共9 页） 故所求概率为 ??(??)=10=5． （2） 由图1可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”． 由图2可知，三个月后的低碳族的比例为 0.07+0.23+0.46=0.76>0.75， 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准． 19. （1） 在 Rt△?????? 中，????=????tan∠??????=√3×又 ????=????=4，所以 ????=3． 在 Rt△?????? 中，????=????=√3， 则 tan∠??????=????=所以 ∠??????=． 6ππ3 ???? √3， 3 √33 63 =1． 又 ∠??????=，所以 ∠??????=，即 ????⊥????． 2 π 因为 ????⊥底面????????，?????底面????????， 所以 ????⊥????． 又 ????∩????=??， 所以 ????⊥平面??????． （2） 因为 ????⊥底面????????，?????平面??????， 所以平面 ??????⊥平面????????． 如图，过 ?? 作 ????⊥???? 于 ??，则 ????⊥平面??????， 所以 ???? 的长就是点 ?? 到平面 ?????? 的距离，即 ????=在 Rt△?????? 中，由 ?????????=?????????，得 √3????= 2√2171 2√217 ． ?√3+????2，解得 ????=2． 1 则 ??△??????=2?????????=2×√3×2=√3． 因为 ????⊥????，????⊥????， 所以 ????⊥平面??????． 因为 ?????平面??????， 所以 ????⊥????． 在 Rt△?????? 中，????=√????2+????2=√2+3=√5， 所以 ??△??????=?????????=×√5×2=√5． 2 2 1 1 又 ??△??????=?????????=×√2×√3= 2 2 11 √6， 2 所以三棱锥 ????????? 的侧面积 ??侧= √62 +√3+√5． 第6页（共9 页） 20. （1） 由 ??= √2，得 ??2 =√2??， 1 结合 ??2=??2???2，得 ??2=2??2． 于是，椭圆的方程变为 ??2+2??2=??2． ????????????????设 ??(??0,??0)，由 ?????2???1??2=0，得 ??0=??． 将 ??(??,??0) 代入椭圆方程，解得 ??0=2??， 所以 ??(2??,2??)，则直线 ???? 的斜率为 ??=从而直线 ???? 的方程为 ??= √2??． 2 √21 √2， 2 1 （2） 连接 ????1，????1，????2，????2． 由椭圆的对称性可知，??△??????2=??△??????1=??△????1??2， 结合（1），得 ×2??×??=4√2． 2 2 1 1 √2??，解得 ??22 ??2 ??28 再结合 ??= =16，??2=8． 故椭圆的方程为 16+ =1． 1 3 21. （1） 当 ??=3 时，??(??)=?3??3+2??2?2??，得 ???(??)=???2+3???2． 因为 ???(??)=???2+3???2?(???1)(???2)， 所以当 ??0，函数 ??(??) 单调递增； 当 ??<1 或 ??>2 时，???(??)<0 ，函数 ??(??) 单调递减． 所以函数 ??(??) 的单调递增区间为 (1,2)，单调递减区间为 (?∞,1)和(2,+∞)． （2） 方法1：由 ??(??)=?3??3+2??2?2??，得 ???(??)=???2+?????2． 因为对于任意 ??∈[1,+∞) 都有 ???(??)<2(???1) 成立， 即对于任意 ??∈[1,+∞) 都有 ???2+?????2<2(???1) 成立， 即对于任意 ??∈[1,+∞) 都有 ??2?????+2??>0 成立， 令 ?(??)=??2?????+2??，要使对任意 ??∈[1,+∞) 都有 ?(??)>0 成立， ??≥0?? 必须满足 ??<0 或 {2≤1 ?(1)>0??2?8??≥0?? 即 ??2?8??<0 或 {≤1 2 1+??>0 所以实数 ?? 的取值范围为 (?1,8)． 方法2：由 ??(??)=???3+??2?2??，得 ???(??)=???2+?????2， 3 2 1 3 1 3 因为对于任意 ??∈[1,+∞) 都有 ???(??)<2(???1) 成立， 所以问题转化为，对于任意 ??∈[1,+∞) 都有 [???(??)]??????<2(???1)． 因为 ???(??)=?(???2)+ ?? ??2 ??24 ?? ?2，其图象开口向下，对称轴为 ??=2． ①当 2<1 时，即 ??<2 时，???(??) 在 [1,+∞) 上单调递减， 所以 [???(??)]max=???(1)=???3， 第7页（共9 页） 由 ???3<2(???1)，得 ??>?1，此时 ?1 ②当 2≥1 时，即 ??≥2 时，???(??) 在 [1,2] 上单调递增，在 (2,+∞) 上单调递减， 所以 ???(??)max=???()= 2由 ??24 ?? ??24 ?? ?? ?? ?2， ?2<2(???1)，得 0 1 ?? 综上①②可得，实数 ?? 的取值范围为 (?1,8)． （3） 设点 ??(??,?3??3+2??2?2??) 是函数 ??=??(??) 图象上的切点， 则过点 ?? 的切线的斜率为 ??=???(??)=???2+?????2， 所以过点 ?? 的切线方程为 ??+??3???2+2??=(???2+?????2)(?????)． 3 2 1 ?? 1 因为点 (0,?3) 在切线上， 所以 ?+??3???2+2??=(???2+?????2)(0???) 3 31 1 ?? 即 3??3?2????2+3=0． 若过点 (0,?) 可作函数 ??=??(??) 图象的三条不同切线， 3则方程 ??3?????2+=0 有三个不同的实数解． 3 2 3 2 1 1 1 21 21 令 ??(??)=3??3?2????2+3，则函数 ??=??(??) 与 ?? 轴有三个不同的交点． 令 ???(??)=2??2?????=0，解得 ??=0 或 ??=2． 因为 ??(0)=，??()=???3+， 32243 所以必须 ??()=???3+<0，即 ??>2． 2243所以实数 ?? 的取值范围为 (2,+∞)． 22. （1） 连接 ????，则 ????⊥????． 在 Rt△?????? 中，由 ?? 是 ???? 的中点，得 ????=????． 又 ????=????，????=????， 所以 △??????≌△??????， 从而 ∠??????=∠??????=90°， 故 ??，??，??，?? 四点共圆． （2） 由 ????⊥????，得 ???? 是圆 ?? 的切线． 由 ???? 是 △?????? 的中位线，得 ????=2????． 延长 ???? 交圆于点 ??，由切割线定理，得 ????2 =?????????=????(????+????) =?????????+????????? 11 =?????(????)+?????(????), 221 ?? 1 1 1 ?? 1 1 ?? 211 即 2????2=?????????+?????????． 23. （1） 由 ??=2√5sin??，得 ??2+??2?2√5??=0， 即 ??2+(???√5)=5． 2 第8页（共9 页）