2019年数学广东省中山市华侨中学高考数学一模（文科）
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 设集合 ??={??∣ ??2=??}，??={??∣ lg??≤0}，则 ??∪??= (??)
A. [0,1]
B. (0,1]
1
2
C. [0,1) D. (?∞,1]
2. 给定下列函数：① ??=??2；② ??=log1(??+1)；③ ??=∣???1∣；④ ??=??+1．其中在区间 (0,1) 上单调递减的函数序号是 (??)
A. ①④
B. ②③
C. ③④
D. ①②
3. 设 ??,??∈??，则“(?????)3??2>0”是“??>??”的 (??)
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
??+??≥1,
4. 设变量 ??，?? 满足约束条件 {?????≥1, 则目标函数 ??=3??+?? 的最小值为 (??)
2?????≥4,
A. 11
B. 3
C. 2
D. 3 13
5. 一个袋子中有号码为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 大小相同的 5 个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为 (??)
3
4
3
3
A. 5 B. 5 C. 20 D. 10 8√5，则正视图与侧视图中 ?? 的值为 3
6. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 12π+(??)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
7. 一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列 {????}，若 ??3=8，且 ??1，??3，??7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 (??) A. 13，12
B. 13，13
C. 12，13
D. 13，14
8. 曲线 ??=e?2??+1 在点 (0,2) 处的切线与直线 ??=0 和 ??=?? 围成的三角形的面积为 (??)
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A. 3
??2
??2
1
B. 2
1
C. 3
2
D. 1
9. 已知双曲线 ??2???2=1 (??>0,??>0) 与抛物线 ??2=8?? 有一个公共的焦点 ??，且两曲线的一个交点为 ??，若 ∣????∣=5，则双曲线的渐近线方程为 (??)
A. ??±√3??=0
B. √3??±??=0
C. ??±2??=0
D. 2??±??=0
10. 若 [??] 表示不超过 ?? 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 ?? 的值为 (??)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
11. 已知 ?? 、 ?? 、 ?? 、 ?? 是球 ?? 表面上的点，????⊥平面??????，????⊥????，????=????=1，????=√2，
则球 ?? 的表面积等于 (??)
A. 4π 12. 已知函数 ??(??)=
sin????
B. 3π ，若
3??+??2π
2π3
C. 2π
，则下列结论正确的是 (??)
B. ??(√????)
2??+??2
D. π
A. ??(??)
??+??2
) )
)
??+??
)
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 数列 {????} 的首项为 3，{????} 为等差数列，且 ????=????+1?????(??∈???)．若 ??3=?2，??10=12，
则 ??8= ．
??=(4,??)，若 ????，则 16??+4?? 的最小值为 ． 14. 已知向量 ???=(???1,2)，???⊥??15. 已知直线 ??= 与双曲线
2??
??2??
2?
??2??2
=1(??>0,??>0) 交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围
是 ．
16. 如图甲，在 △?????? 中，????⊥????，????⊥????，?? 为垂足，则 ????2=?????????，该结论称为射影定
理．如图乙，在三棱锥 ????????? 中，????⊥平面??????，????⊥平面??????，?? 为垂足，且 ?? 在 △?????? 内，类比射影定理，探究 ??△??????，??△??????，??△?????? 这三者之间满足的关系是 ．
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三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知向量 ?????=(sin??,?1)，????=(cos??,3)．
Ⅰ 当 ?????∥???? 时，求 3sin???2cos?? 的值；
Ⅱ 已知在锐角 △?????? 中，??，??，?? 分别为角 ??，??，?? 的对边，且满足 √3??=2??sin(??+
??)．若函数 ??(??)=(?????+????)??????，求 ??(??+8) 的取值范围.
18. 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算
每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少 75% 的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的 5 个居民小区中有三个“非低碳小区”，两个“低碳小区”. Ⅰ 求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
Ⅱ 假定选择的“非低碳小区”为小区 A，调查显示其“低碳族”的比例为 ，数据如图1所示，经过
21
π
sin??+cos??
同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?
????=√2，????=4，????=√3．
19. 如图，在四棱锥 ??????????? 中，底面 ???????? 为矩形，????⊥底面????????，?? 是 ???? 上一点．已知
π
Ⅰ 若 ∠??????=6，求证：????⊥平面??????； Ⅱ 当点 ?? 到平面 ?????? 的距离为
??2
??2
2√21 时，求三棱锥 ??7
??????? 的侧面积．
20. 已知 ??1 、 ??2 分别是椭 ??2+??2=1(??>??>0) 圆 的左、右焦点，?? 是椭圆上位于第一象限内的
√2????????????????一点，?????2???1??2=0．若椭圆的离心率等于 ．
2
Ⅰ 求直线 ???? 的方程（?? 为坐标原点）；
Ⅱ 直线 ???? 交椭圆于点 ??，若三角形 ??????2 的面积等于 4√2，求椭圆的方程． 21. 已知函数 ??(??)=?3??3+2??2?2?? （ ??∈?? ）．
Ⅰ 当 ??=3 时，求函数 ??(??) 的单调区间；
1
??
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Ⅱ 若对于任意 ??∈[1,+∞) 都有 ???(??)<2(???1) 成立，求实数 ?? 的取值范围；
Ⅲ 若过点 (0,?3) 可作函数 ??=??(??) 图象的三条不同切线，求实数 ?? 的取值范围．
22. 如图，△?????? 为直角三角形，∠??????=90°，以 ???? 为直径的圆交 ???? 于点 ??，点 ?? 是 ???? 的中
点，连 ???? 交圆 ?? 于点 ??．
1
Ⅰ 求证：??，??，??，?? 四点共圆； Ⅱ 求证：2????2=?????????+?????????．
√2
??=3???,
2
23. 在直角坐标系 ?????? 中，直线 ?? 的参数方程为 {（?? 为参数），在极坐标系（与直角
√2??=√5+??
2
坐标系 ?????? 取相同的长度单位，且以原点 ?? 为极点，以 ?? 轴正半轴为极轴）中，圆 ?? 的方程为 ??=2√5sin??．
Ⅰ 求圆 ?? 的圆心到直线 ?? 的距离；
Ⅱ 设圆 ?? 与直线 ?? 交于点 ??，??．若点 ?? 的坐标为 (3,√5)，求 ∣????∣+∣????∣． 24. 已知函数 ??(??)=∣???1∣+∣??+2∣．
Ⅰ 求不等式 ??(??)>7 的解集；
Ⅱ 若关于 ?? 的不等式 ??(??)≥??+8 在 ?? 上恒成立，求实数 ?? 的取值范围．
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