图1-2 空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程

图1-5 人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果

第2章 有限元分析过程的概要

本章先通过一个简单的实例，采用直接的推导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从中可以了解有限元方法的思路形成过程，以及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用的标准求解方法。

2.1 有限元分析的目的和概念

任何具有一定使用功能的构件(称为变形体(deformed body))都是由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力作用下的内部状态进行分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。

描述可承力构件的力学信息一般有三类：

(1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称为位移(displacement))； (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态(称为应变(strain))； (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态(称为应力(stress))；

若该构件为简单形状，且外力分布也比较单一，如：杆、梁、柱、板就可以采用材料力学的方法，一般都可以给出解析公式，应用比较方便；但对于几何形状较为复杂的构件却很难得到准确的结果，甚至根本得不到结果。

有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)。

在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness)等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案；然后，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。 图2-1给出一个针对大型液压机机架的设计过程以及采用有限元分析的状况。

(a)机架设计与受力状况 (b)有限元分析模型与得到的变形状况

图2-1 大型液压机机架的设计过程与数字化分析

为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？这时因为有限元方法是基于“离散逼近(discretized approximation)”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。

一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函数(base function)的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2) 基于子域(sub-domain)的分段函数(pieces function)组合(如采用分段线性函数的连接)；下面，仅以一个一维函数的展开为例说明全域逼近与分段逼近的特点。

【典型例题2.1(1)】

一个一维函数的两种展开方式的比较。设有一个一维函数 分析它的展开与逼近形式。 【解答】

首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数(Fourier series)展开，则有

(2-1)

其中 所采用的基底函数，它定义在全域

第二种是基于子域

上，

为展开的系数。

上的分段展开形式，若采用线性函数,有

(2-2)