2019届广东省深圳市红岭中学高三上学期开学考试数学试题
（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U?{x|y?A．?
3x}，A?{x|y?log9x}，B?{y|y??2x}，则AC．?x|x?0?
D．?0?
?eB?=
UB．R
2.若纯虚数z满足(1?i)z?1?ai，则实数a等于
A．0 B．?1或1 C．1 D．?1 3．计算4cos15?cos75??sin15?sin75?? A．0
B．
12
C．
34
D．
3 24.命题“?x?R，总有x2?2>0”的否定是
A.“?x?R，总有x2?2>0” B.“?x?R，总有x2?2?0” C.“?x?R，使得x2?2>0” D.“?x?R，使得x2?2?0”
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2?b2?bc，sinC?2sinB，则A?
A．
?B．
6 3满足的最大值为
，
?C．，记
5? 6 D．
，且存在正整数
2? 3，使得对一切
6. 已知数列恒成立，则
A．3 B．4 C．5 D．6 7. 已知变量x，y满足约束条
，则
的最大值为
A. B. C. D.
8.某校有A，B，C，D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A、B同时获奖”； 乙说：“B、D不可能同时获奖”； 丙说：“C获奖”；
丁说：“A、C至少一件获奖”.
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A．作品A与作品B B．作品B与作品C C．作品C与作品D D．作品A与作品D 9. 用数学归纳法证明“两边加上 A. C.
B.
D.
”，则当
时，应当在
时对应的等式的
10. 已知函数A. （
B. （
n?1在[2，+)上是增函数，则的取值范围是( ) C. （
D. （
11.设曲线y?xA.
(n?N?)在点 （1，1）处的切线与x轴的焦点的横坐标为xn，则x1?x2....xn等于
11n B. C. D.1 nn?1n?12212．已知直线y?kx?3和圆x?y?6x?4y?5?0相交于M,N两点，若MN?23，则k的值为 A．2或-
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知tan?
14. 设为数列_________
15. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出T的值为 .
1111
B．?2或- C．?2或 D．2或
2222???????3，则sin2??2cos2?? ?4?的前项和, 且 则
16．设曲线y=ax在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1 -q)Sn+qn= 1,且q(q-1)≠0. (1)求{an}的通项公式;
2
(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2, a3,a5成等差数列.
18.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：
阶梯级别 月用水范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全
市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值.
19．（本题满分12分）如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，
第一阶梯水量 (0.10] 第二阶梯水量 (10. 15] 第三阶梯水量 （15.+） ?BAC?90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO?平面ABC； （Ⅱ）求点B到平面SAC的距离．
SO BAC20. （本题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若
，离心率为
，求直线L的方程．
21. （本题满分12分）已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
22．（本题满分12分）已知函数f?x??x?2x?alnx?a?0?，x0是函数f?x?的极值点．
2（1）若a??4，求函数f?x?的最小值；
（2）若f?x?不是单调函数，且无最小值，证明：f?x0??0．