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S3·cos γ.
合情推理的应用 [例3] 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
[思路点拨] 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和．
[精解详析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2， 所以an＋2＝an.
所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N*，则
Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝
＝
2k－2
(a＋b)＋a 2
n－1
2
(a＋b)＋a＝
n＋1n－1
a＋b；
2
2
当n为偶数时，令n＝2k，k∈N*，则
nSn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)．
2
n＋1n－1??2a＋2b，n为奇数；
所以它的前n项和S＝?n??2a＋b， n为偶数.
n
[一点通] (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．
(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
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5．类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.”写出空间向量基本定理的是________．
答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
x2y2
6．已知椭圆C：2＋2＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Pab是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与
x2y2
KPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线2－2＝1写出类似的性质，并加以证明．
abx2y2
解：类似的性质：若M，N是双曲线2－2＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线
ab上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：
m2n2
设M(m，n)，则N(－m，－n)，其中2－2＝1.
aby－ny＋n设P(x，y)，由KPM＝，KPN＝，
x－mx＋my－ny＋ny2－ n2
得KPM·KPN＝·＝，
x－mx＋mx2－m2
222bbb将y2＝2x2－b2，n2＝2m2－b2代入得KPM·KPN＝2.
aaa
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
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[对应学生用书P18]
一、填空题
1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．
答案：正方体 正方体的体积为棱长的立方 2．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， ……
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，所以y＝tan x是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
1
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半
2径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．
解析：△ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为
O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面
1
体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
3
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1
答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
3
4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB2＝BD·BC.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有________．”
2答案：S△ABC＝S△BOC·S△BCD
5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则
AG＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCDGDAO中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________.”
OM解析：如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，
则BM＝
323×＝， 23312－?
6?3?2
＝， ?33??
AM＝
R＝
6?6?2?3?2
?－R?＋??，解得R＝4. ?3??3?
6
4
AO于是，＝
OM6
答案：3 二、解答题
6
－34
＝3.
6．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质： (1)通项an＝am＋(n－m)·d.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq. (3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.
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