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第二课时 类 比 推 理

为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．

问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？

提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．

1．类比推理

根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 2．合情推理

合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．

类比推理的特点主要体现在以下几个方面： (1)类比推理是从特殊到特殊的推理．

(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．

(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．

[对应学生用书P16]

类比推理在数列中的应用 马鸣风萧萧整理

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[例1] 在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，

n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成

立？

[思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．

[精解详析] 在等差数列{an}中，a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1. 又由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n ＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，

∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n，

若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n， 相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1， 则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．

[一点通] 类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质

a′，b′，c′，d′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，所以B类事物可能具有性

质d′(d与d′相似或相同)．

1． 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝数列．

类比上述性质，相应地：

若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列． 答案：c1·c2·c3·…·cn

2．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝

a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N*)也是等差

nnbn－am.n－m现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，类比上述结论，求

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bm＋n.

解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函

nn－mbn?b?1

数关系．利用类比可得bm＋n＝?m?＝m. an－ma??

[例2]

类比推理在几何中的应用 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、

SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．

[思路点拨] 在△DEF中，有三条边，三个角，与△DEF相对应的是四面体S－ABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．

[精解详析] 在△DEF中，由正弦定理，得

＝.于是，类比三角形中的

sin Dsin Esin Fd＝

ef正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．

sin α1sin α2sin α3

S1S2S3

[一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．

(2)平面图形与空间图形类比

平面图形 点 线 空间图形 线 面 马鸣风萧萧整理

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边长 面积 线线角 三角形

面积 体积 二面角 四面体 S△AECAC3．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这

S△BECBC个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于

E，则类比的结论为________．

图(1) (2) 解析：平面中的面积类比到空间为体积，

S△AECVA－CDE故类比成. S△BECVB－CDE平面中的线段长类比到空间为面积，

ACS△ACD故类比成. BCS△BCDVA－CDES△ACD故有＝.

VB－CDES△BDC答案：

VA－CDES△ACD＝ VB－CDES△BDC4.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，

b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△

PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与

底面ABC所成二面角的大小．

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋

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